Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo com
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os pontos críticos de
no intervalo
e classificá‑los como máximo ou mínimo.
Informações dadas/úteis: ; definida para todo
; o intervalo de interesse é aberto, isto é, inclui todos os pontos
tais que
mas não inclui
nem
.
Perguntas explícitas: (1) quais são os pontos críticos dentro de ? (2) cada ponto crítico é máximo ou mínimo?
Informações dadas/úteis:
Perguntas explícitas: (1) quais são os pontos críticos dentro de
Passo 2
O que é um ponto crítico (explicação didática)?
Um ponto do domínio de
é crítico se ou (i)
ou (ii)
não está definida em
. Na prática, para funções suaves como
procuramos onde a derivada é zero. Depois de encontrar candidatos, usamos um teste (por exemplo o teste da segunda derivada) para classificar como máximo ou mínimo. Vou aplicar isso passo a passo.
Um ponto
Passo 3
Calcular
(explicando as regras usadas).
Temos . Isso é uma composição:
com
. Pelo regra da cadeia: a derivada de
é
. Além disso, a derivada de
é
. Portanto,
Temos
Podemos usar a identidade trigonométrica
, assim
Passo 4
Encontrar onde
(resolver a equação).
Queremos . A solução geral de
é
com
. Colocando
temos
Queremos
Agora selecionamos os valores que pertencem ao intervalo
. Testando
inteiros:
-
dá (fora do intervalo, pois é limite aberto), -
dá (dentro), -
dá (dentro), -
dá (dentro), -
dá (fora do intervalo).
Logo, os pontos críticos emsão
Passo 5
Verificar se há pontos onde
não está definida.
A função é definida para todo
; portanto não há pontos críticos do tipo “derivada indefinida” neste caso. Os únicos críticos são os encontrados no passo anterior.
A função
Passo 6
Como classificar cada ponto crítico? (explicação do teste da segunda derivada)
O teste da segunda derivada diz: se então
é mínimo local; se
então
é máximo local; se
o teste é inconclusivo. Vou calcular
e avaliar em cada ponto.
O teste da segunda derivada diz: se
Passo 7
Calcular
.
Derivando temos, usando a regra da cadeia (derivada de
é
com
e
):
Derivando
Passo 8
Avaliar
nos pontos críticos e concluir (passo a passo com valores).
- Em
:
Como
,
é ponto de máximo local (na verdade máximo absoluto aqui, veremos o valor).
- Em
:
Como
,
é ponto de mínimo local (e é mínimo absoluto no intervalo).
- Em
:
Logo
é ponto de máximo local.
Passo 9
Verificação extra (valores da função) — para fixar a intuição:
Calculemos nos pontos críticos para ver os valores:
Calculemos
Portanto em
e
a função atinge
(maior valor possível de
), ou seja máximos absolutos no intervalo; em
atinge
(menor valor possível), ou seja mínimo absoluto no intervalo.