Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo com \mathrm{x} \in(0,2 \pi).
f(x)=\operatorname{sen}^{2}(x)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os pontos críticos de f(x)=\sin^{2}(x) no intervalo (0,2\pi) e classificá‑los como máximo ou mínimo.
Informações dadas/úteis: \,f(x)=\sin^{2}(x); definida para todo x; o intervalo de interesse é aberto, isto é, inclui todos os pontos x tais que 0<x<2\pi mas não inclui 0 nem 2\pi.
Perguntas explícitas: (1) quais são os pontos críticos dentro de (0,2\pi)? (2) cada ponto crítico é máximo ou mínimo?

Passo 2

O que é um ponto crítico (explicação didática)?
Um ponto x_{0} do domínio de f é crítico se ou (i) f'(x_{0})=0 ou (ii) f' não está definida em x_{0}. Na prática, para funções suaves como \sin^{2}(x) procuramos onde a derivada é zero. Depois de encontrar candidatos, usamos um teste (por exemplo o teste da segunda derivada) para classificar como máximo ou mínimo. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular f'(x) (explicando as regras usadas).
Temos f(x)=\sin^{2}(x). Isso é uma composição: f(x)=(g(x))^{2} com g(x)=\sin(x). Pelo regra da cadeia: a derivada de (g(x))^{2} é 2\,g(x)\cdot g'(x). Além disso, a derivada de \sin(x) é \cos(x). Portanto,
f'(x)=2\sin(x)\cos(x).
Podemos usar a identidade trigonométrica 2\sin(x)\cos(x)=\sin(2x), assim
f'(x)=\sin(2x).

Passo 4

Encontrar onde f'(x)=0 (resolver a equação).
Queremos \sin(2x)=0. A solução geral de \sin(\theta)=0 é \theta=k\pi com k\in\mathbb{Z}. Colocando \theta=2x temos
2x=k\pi \quad\Rightarrow\quad x=\frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.
Agora selecionamos os valores que pertencem ao intervalo (0,2\pi). Testando k inteiros:
  • k=0 x=0 (fora do intervalo, pois é limite aberto),
  • k=1 x=\frac{\pi}{2} (dentro),
  • k=2 x=\pi (dentro),
  • k=3 x=\frac{3\pi}{2} (dentro),
  • k=4 x=2\pi (fora do intervalo).
    Logo, os pontos críticos em (0,2\pi) são
x=\frac{\pi}{2},\quad x=\pi,\quad x=\frac{3\pi}{2}.

Passo 5

Verificar se há pontos onde f' não está definida.
A função f'(x)=\sin(2x) é definida para todo x; portanto não há pontos críticos do tipo “derivada indefinida” neste caso. Os únicos críticos são os encontrados no passo anterior.

Passo 6

Como classificar cada ponto crítico? (explicação do teste da segunda derivada)
O teste da segunda derivada diz: se f''(x_{0})>0 então x_{0} é mínimo local; se f''(x_{0})<0 então x_{0} é máximo local; se f''(x_{0})=0 o teste é inconclusivo. Vou calcular f''(x) e avaliar em cada ponto.

Passo 7

Calcular f''(x).
Derivando f'(x)=\sin(2x) temos, usando a regra da cadeia (derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u' com u=2x e u'=2):
f''(x)=2\cos(2x).

Passo 8

Avaliar f'' nos pontos críticos e concluir (passo a passo com valores).
  1. Em x=\frac{\pi}{2}:
f''\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=2\cos\!\left(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\right)=2\cos(\pi)=2\cdot(-1)=-2<0.
Como f''<0, x=\tfrac{\pi}{2} é ponto de máximo local (na verdade máximo absoluto aqui, veremos o valor).
  1. Em x=\pi:
f''(\pi)=2\cos(2\pi)=2\cdot 1=2>0.
Como f''>0, x=\pi é ponto de mínimo local (e é mínimo absoluto no intervalo).
  1. Em x=\frac{3\pi}{2}:
f''\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=2\cos\!\left(2\cdot\tfrac{3\pi}{2}\right)=2\cos(3\pi)=2\cdot(-1)=-2<0.
Logo x=\tfrac{3\pi}{2} é ponto de máximo local.

Passo 9

Verificação extra (valores da função) — para fixar a intuição:
Calculemos f nos pontos críticos para ver os valores:
f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\sin^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,\qquad f(\pi)=\sin^{2}(\pi)=0,\qquad f\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=\sin^{2}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=1.
Portanto em \tfrac{\pi}{2} e \tfrac{3\pi}{2} a função atinge 1 (maior valor possível de \sin^{2}), ou seja máximos absolutos no intervalo; em \pi atinge 0 (menor valor possível), ou seja mínimo absoluto no intervalo.

Resposta

x=\dfrac{\pi}{2} — máximo (valor 1)
x=\pi — mínimo (valor 0)
x=\dfrac{3\pi}{2} — máximo (valor 1)

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