Encontre os pontos extremos de f e os classifique (ponto de máximo, mínimo ou de sela) f(x, y)=\left(12 x y-x^{2} y^{2}\right) /(2 x+2 y), com x>0 e y>0.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os extremos de
f(x,y)=\frac{12xy - x^2y^2}{2(x+y)},
no domínio x>0, y>0.
Conteúdo: cálculo de pontos críticos pela condição \nabla f=0 (usando regra do quociente) e classificação via segunda derivada (teste da Hessiana ou análise de concavidade em direções).
Em outra direção (por exemplo x+y=4), também se obtém derivada segunda negativa em (2,2). Logo (2,2) é ponto de máximo local de f. Não há outros extremos nem ponto de sela no domínio.
Resposta
O único ponto crítico é (2,2) e é um ponto de máximo local, com