Encontre os pontos extremos de f e os classifique (ponto de máximo, mínimo ou de sela)
f(x, y)=\left(12 x y-x^{2} y^{2}\right) /(2 x+2 y), com x>0 e y>0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os extremos de
f(x,y)=\frac{12xy - x^2y^2}{2(x+y)},
no domínio x>0, y>0.
Conteúdo: cálculo de pontos críticos pela condição \nabla f=0 (usando regra do quociente) e classificação via segunda derivada (teste da Hessiana ou análise de concavidade em direções).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais. Defina
N(x,y)=12xy - x^2y^2, \quad D(x,y)=2(x+y), \quad f=\frac{N}{D}.
Então, por regra do quociente,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{N_x\,D - N\,D_x}{D^2},
onde
N_x=12y - 2xy^2, \quad D_x=2.
Logo
N_xD - ND_x = (12y - 2xy^2)\,2(x+y) - (12xy - x^2y^2)\,2 =2y^2\bigl(12 - x^2 -2xy\bigr).
Assim
\frac{\partial f}{\partial x} =0 \quad\Longrightarrow\quad 12 - x^2 - 2xy =0.
De modo totalmente análogo, pela simetria entre x e y,
\frac{\partial f}{\partial y}=0 \quad\Longrightarrow\quad 12 - y^2 - 2xy =0.

Passo 3

Resolvendo o sistema
\begin{cases} x^2 + 2xy =12,\\\ y^2 + 2xy =12, \end{cases}
subtraindo membro a membro vem (x^2 - y^2)=0\implies x=y (pois x+y>0).
Substituindo em x^2+2x^2=12
3x^2=12 \quad\Longrightarrow\quad x^2=4 \quad\Longrightarrow\quad x=2\\ (\text{positivo}).
Portanto o único ponto crítico é (2,2).

Passo 4

Para classificar, avalie em direções principais. Sobre a reta y=x,
f(x,x)=\frac{12x^2 - x^4}{4x} =3x - \tfrac14x^3,
cuja segunda derivada em x=2 é
\frac{d^2}{dx^2}\bigl(3x - \tfrac14x^3\bigr)\Big|_{x=2} =-\tfrac32\cdot2 = -3 <0.
Em outra direção (por exemplo x+y=4), também se obtém derivada segunda negativa em (2,2). Logo (2,2) é ponto de máximo local de f. Não há outros extremos nem ponto de sela no domínio.

Resposta

O único ponto crítico é (2,2) e é um ponto de máximo local, com
f(2,2)=\frac{12\cdot2\cdot2 - (2)^2(2)^2}{2\,(2+2)} =\frac{48-16}{8}=4.

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