Determine o valor de L que torna f contínua em (0,0)
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ L & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1},& (x,y)\neq(0,0),\\[1em] L,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede o valor de L que faz f contínua em (0,0). Isso significa calcular \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) e igualar a L.]

Passo 2

Para simplificar o limite, note que r=\sqrt{x^2+y^2}. Então, para (x,y)\neq(0,0)
f(x,y) =\frac{r^2}{\sqrt{r^2+1}-1}.
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por \sqrt{r^2+1}+1.

Passo 3

Racionalizando, obtemos
\frac{r^2}{\sqrt{r^2+1}-1}\;\times\;\frac{\sqrt{r^2+1}+1}{\sqrt{r^2+1}+1} =\frac{r^2(\sqrt{r^2+1}+1)}{(\sqrt{r^2+1})^2-1} =\frac{r^2(\sqrt{r^2+1}+1)}{r^2} =\sqrt{r^2+1}+1.

Passo 4

Agora, fazendo r\to0 (isto é, (x,y)\to(0,0)), fica
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) =\lim_{r\to0}\bigl(\sqrt{r^2+1}+1\bigr) =\sqrt{0+1}+1 =2.
Para f ser contínua em (0,0), é preciso L=2.

Resposta

L=2

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