Determine o valor de L que torna f contínua em (0,0) f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ L & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right. Passo 1O enunciado define a função f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1},& (x,y)\neq(0,0),\\[1em] L,&(x,y)=(0,0), \end{cases} e pede o valor de L que faz f contínua em (0,0). Isso significa calcular \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) e igualar a L.] Passo 2Para simplificar o limite, note que r=\sqrt{x^2+y^2}. Então, para (x,y)\neq(0,0) f(x,y) =\frac{r^2}{\sqrt{r^2+1}-1}. Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por \sqrt{r^2+1}+1. Passo 3Racionalizando, obtemos \frac{r^2}{\sqrt{r^2+1}-1}\;\times\;\frac{\sqrt{r^2+1}+1}{\sqrt{r^2+1}+1} =\frac{r^2(\sqrt{r^2+1}+1)}{(\sqrt{r^2+1})^2-1} =\frac{r^2(\sqrt{r^2+1}+1)}{r^2} =\sqrt{r^2+1}+1. Passo 4Agora, fazendo r\to0 (isto é, (x,y)\to(0,0)), fica \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) =\lim_{r\to0}\bigl(\sqrt{r^2+1}+1\bigr) =\sqrt{0+1}+1 =2. Para f ser contínua em (0,0), é preciso L=2. Resposta L=2 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEncontre os pontos extremos de f e os classifique (ponto de máximo, mínimo ou de sela) f(x, y)=\left(12 x y-x^{2} y^{2}\right) /(2 x+2 y), com x>0 e y>0. Encontre os pontos extremos de f e os classifique (ponto de máximo, mínimo ou de sela) f(x, y)=\left(12 x y-x^{2} y^{2}\right) /(2 x+2 y), com x>0 e y>0. Encontre a área da região limitada por y=8 x \sqrt{4-x^{2}}, x=0, x=2 e y=0. Dica 1: use a substituição x=2 \operatorname{sen} \theta ou u=4-x^{2}. Quais das séries abaixo é uma série geométrica? \sum_{n=1}^{\infty} \frac{12}{(-5)^{n}} \sum_{n=1}^{\infty} \cos n \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+4}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{7^{n+1}}{10^{n}} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}