Encontre os pontos do hiperboloide x^2 + 4y^2 - z^2 = 4 onde o plano tangente é paralelo ao plano 2x + 2y + 1z = 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos do hiperboloide onde o plano tangente é paralelo ao plano . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies e condições de paralelismo entre planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o plano tangente ser paralelo a outro plano. Dois planos são paralelos se seus vetores normais são proporcionais. O vetor normal do plano é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expressão do vetor normal ao hiperboloide em qualquer ponto dele. Para isso, calculamos o gradiente da função :
Então, o vetor normal ao hiperboloide no ponto é .

Passo 4

Para que o plano tangente ao hiperboloide seja paralelo ao plano dado, os vetores normais devem ser proporcionais. Ou seja:
Onde é uma constante de proporcionalidade.
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Agora, vamos substituir , e em termos de na equação do hiperboloide para encontrar o valor de :

Passo 6

Com os valores de , podemos encontrar os pontos correspondentes:
Para :
Ponto:
Para :
Ponto:

Resposta

Os pontos do hiperboloide onde o plano tangente é paralelo ao plano são e .

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