Mostre que lim (x, y) (0,0) cos y sen yx existe e calcule o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que o limite existe e calcular esse limite. Vamos usar conceitos de limites em várias variáveis e analisar se o limite realmente existe.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o limite está pedindo. Estamos olhando para o comportamento da função quando e se aproximam de 0. Em funções de várias variáveis, para o limite existir, o resultado deve ser o mesmo independente do caminho que escolhemos para nos aproximar do ponto .

Passo 3

Vamos testar dois caminhos diferentes para ver se o limite é consistente:
  1. Caminho onde cos 0 cdot sen 0x = 1 cdot 0x = 0 :
    Se cos x cdot sen xx = cos x cdot sen xx , a função fica:
    Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.
  2. Caminho onde limx to 0 cos x cdot sen xx = 1 cdot 1 = 1 :
    Se , substituímos na função:
    Sabemos que e . Então:
    Portanto, ao longo desse caminho, o limite é 1.

Passo 4

Observamos que ao escolher caminhos diferentes, obtivemos limites diferentes (0 e 1). Isso indica que o limite não é o mesmo em todos os caminhos possíveis para .

Passo 5

Segundo a teoria de limites em várias variáveis, se ao menos dois caminhos diferentes resultam em limites distintos, então o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque diferentes caminhos de aproximação levam a diferentes valores.

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