Encontre os pontos de máximo e de mínimo relativos de f, caso existam, quando:
b) f(x)=2 x^{2}-x^{4}

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x)=2x^{2}-x^{4} e pede para encontrar os pontos de máximo e de mínimo relativos, caso existam.
Informações que temos:
  • A função é f(x)=2x^{2}-x^{4}.
  • O domínio natural é todo \mathbb{R} (polinômio definido para todo x).
  • A pergunta é: quais são os pontos (valores de x) onde f tem máximos relativos e onde tem mínimos relativos, e quais são os valores de f nesses pontos.

Passo 2

Conceito útil (bem mastigado): derivada e pontos críticos.
  • A derivada f'(x) dá a inclinação da curva em cada ponto; pontos em que f'(x)=0 ou f' não existe são chamados de pontos críticos. Só em pontos críticos podem ocorrer extremos relativos (máximos ou mínimos locais).
  • Aqui f é polinomial, então f' existe em todo lugar; então buscamos as soluções de f'(x)=0.
Calculemos a derivada:
f(x)=2x^{2}-x^{4}.
Derivando termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}(2x^{2})-\frac{d}{dx}(x^{4})=4x-4x^{3}.
Fatorando:
f'(x)=4x(1-x^{2})=4x(1-x)(1+x).
Agora achamos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
4x(1-x)(1+x)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0,\; x=1,\; x=-1.

Passo 3

Teste de segunda derivada (explicação e aplicação).
  • A segunda derivada f''(x) mede a curvatura (concavidade). O teste de segunda derivada diz: se f''\text{(c)}>0 num ponto crítico c, então f é côncava para cima ali e c é mínimo local; se f''\text{(c)}<0, então é máximo local; se f''\text{(c)}=0, o teste é inconclusivo.
  • Calculamos f''(x) derivando f'(x):
Derivando f'(x)=4x-4x^{3}:
f''(x)=4-12x^{2}=4(1-3x^{2}).
Avaliações nos pontos críticos:
  • Em x=0:
f''(0)=4-12\cdot 0^{2}=4>0,
logo x=0 é ponto de mínimo relativo.
  • Em x=1:
f''(1)=4-12\cdot 1^{2}=4-12=-8<0,
logo x=1 é ponto de máximo relativo.
  • Em x=-1:
f''(-1)=4-12\cdot (-1)^{2}=4-12=-8<0,
logo x=-1 é ponto de máximo relativo.

Passo 4

Calcule os valores da função nesses pontos (para dar as coordenadas completas dos extremos).
  • Em x=0:
f(0)=2\cdot 0^{2}-0^{4}=0.
  • Em x=1:
f(1)=2\cdot 1^{2}-1^{4}=2-1=1.
  • Em x=-1:
f(-1)=2\cdot (-1)^{2}-(-1)^{4}=2-1=1.
Portanto os extremos relativos são:
  • Máximos relativos em x=-1 e x=1, ambos com valor f=-1=1.
  • Mínimo relativo em x=0 com valor f(0)=0.
Observação extra (útil para prova): como f(x)=x^{2}(2-x^{2}), definindo y=x^{2}\ge 0 temos f=x^{2}(2-x^{2})=y(2-y), cujo máximo em y ocorre em y=1 dando valor 1. Assim f tem máximo global 1 em x=\pm1. Como o termo dominante é -x^{4}, quando |x|\to\infty temos f(x)\to -\infty, então não existe mínimo global (vai a -\infty), mas existe o mínimo relativo em x=0.

Resposta

Máximos relativos: x=-1 e x=1, com f(-1)=f(1)=1
Mínimo relativo: x=0, com f(0)=0

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