Encontre os pontos de máximo e de mínimo relativos de
, caso existam, quando:
b)
b)
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para encontrar os pontos de máximo e de mínimo relativos, caso existam.
Informações que temos:
- A função é
. - O domínio natural é todo
(polinômio definido para todo ). - A pergunta é: quais são os pontos (valores de
) onde tem máximos relativos e onde tem mínimos relativos, e quais são os valores de nesses pontos.
Passo 2
Conceito útil (bem mastigado): derivada e pontos críticos.
- A derivada
dá a inclinação da curva em cada ponto; pontos em que ou não existe são chamados de pontos críticos. Só em pontos críticos podem ocorrer extremos relativos (máximos ou mínimos locais). - Aqui
é polinomial, então existe em todo lugar; então buscamos as soluções de .
Calculemos a derivada:
Derivando termo a termo:
Fatorando:
Agora achamos os pontos críticos resolvendo
:
Passo 3
Teste de segunda derivada (explicação e aplicação).
- A segunda derivada
mede a curvatura (concavidade). O teste de segunda derivada diz: se num ponto crítico , então é côncava para cima ali e é mínimo local; se , então é máximo local; se , o teste é inconclusivo. - Calculamos
derivando :
Derivando
:
Avaliações nos pontos críticos:
- Em
:
logo
é ponto de mínimo relativo.
- Em
:
logo
é ponto de máximo relativo.
- Em
:
logo
é ponto de máximo relativo.
Passo 4
Calcule os valores da função nesses pontos (para dar as coordenadas completas dos extremos).
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Portanto os extremos relativos são:
- Máximos relativos em
e , ambos com valor . - Mínimo relativo em
com valor .
Observação extra (útil para prova): como
, definindo
temos
, cujo máximo em
ocorre em
dando valor
. Assim
tem máximo global
em
. Como o termo dominante é
, quando
temos
, então não existe mínimo global (vai a
), mas existe o mínimo relativo em
.
Resposta
Máximos relativos:
e
, com
Mínimo relativo:
, com