Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
b) f(x)=x^{2}-6 x+9

Passo 1

O enunciado pede: determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função f dada por
f(x)=x^{2}-6x+9.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{2}-6x+9.
  • O domínio implícito de uma função polinomial é todo o conjunto dos números reais, isto é, (-\infty,\infty).
    As perguntas que vou responder são: em que intervalos f é crescente e em que intervalos f é decrescente.

Passo 2

Escolha do método (explicando por que): como a função é um polinômio (suave e diferenciável em todo \mathbb{R}), o método mais direto é usar a derivada. Ideia-chave: a derivada f'(x) representa a inclinação da reta tangente em cada ponto; quando f'(x)>0 a função cresce localmente, quando f'(x)<0 ela decresce localmente, e quando f'(x)=0 temos um ponto crítico (possível máximo, mínimo ou ponto de inflexão). Esse é um método padrão e simples para obter os intervalos de monotonicidade.

Passo 3

Calcular a derivada passo a passo. Usarei a regra do poder: para \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aplicando termo a termo em f(x)=x^{2}-6x+9:
  • \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • \dfrac{d}{dx}(-6x)=-6.
  • \dfrac{d}{dx}9=0.
    Portanto,
f'(x)=2x-6.

Passo 4

Encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0. Assim:
2x-6=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=6 \quad\Rightarrow\quad x=3.
Logo x=3 é o único ponto onde a derivada se anula.

Passo 5

Analisar o sinal de f'(x) para decidir monotonicidade. Observe que
f'(x)=2x-6=2(x-3).
O fator 2 é positivo, então o sinal de f'(x) é o mesmo do fator (x-3).
  • Se x<3 então x-3<0 e logo f'(x)<0. Conclusão: f é decrescente para x<3.
  • Se x>3 então x-3>0 e logo f'(x)>0. Conclusão: f é crescente para x>3.
    No ponto x=3 a derivada é zero, indicando um ponto estacionário. Para confirmar que se trata de um mínimo (opcional, mas esclarecedor), calcula-se a segunda derivada:
f''(x)=\dfrac{d}{dx}(2x-6)=2.
Como f''(3)=2>0, há um mínimo local (na verdade global, por ser um quadrado) em x=3.

Passo 6

Interpretando os resultados: a função diminui enquanto x vai de -\infty até 3 e cresce quando x vai de 3 até +\infty. No ponto x=3 há um mínimo (valor mínimo f(3)=0, já que f(x)=(x-3)^{2}).

Resposta

Crescente em (3,\infty).
Decrescente em (-\infty,3).

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