Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede: determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função
dada por
Informações fornecidas:
- A função é
. - O domínio implícito de uma função polinomial é todo o conjunto dos números reais, isto é,
.
As perguntas que vou responder são: em que intervalosé crescente e em que intervalos é decrescente.
Passo 2
Escolha do método (explicando por que): como a função é um polinômio (suave e diferenciável em todo
), o método mais direto é usar a derivada. Ideia-chave: a derivada
representa a inclinação da reta tangente em cada ponto; quando
a função cresce localmente, quando
ela decresce localmente, e quando
temos um ponto crítico (possível máximo, mínimo ou ponto de inflexão). Esse é um método padrão e simples para obter os intervalos de monotonicidade.
Passo 3
Calcular a derivada passo a passo. Usarei a regra do poder: para
. Aplicando termo a termo em
:
-
. -
. -
.
Portanto,
Passo 4
Encontrar os pontos críticos resolvendo
. Assim:
Logo
é o único ponto onde a derivada se anula.
Passo 5
Analisar o sinal de
para decidir monotonicidade. Observe que
O fator
é positivo, então o sinal de
é o mesmo do fator
.
- Se
então e logo . Conclusão: é decrescente para . - Se
então e logo . Conclusão: é crescente para .
No pontoa derivada é zero, indicando um ponto estacionário. Para confirmar que se trata de um mínimo (opcional, mas esclarecedor), calcula-se a segunda derivada:
Como
, há um mínimo local (na verdade global, por ser um quadrado) em
.
Passo 6
Interpretando os resultados: a função diminui enquanto
vai de
até
e cresce quando
vai de
até
. No ponto
há um mínimo (valor mínimo
, já que
).
Resposta
Crescente em
.
Decrescente em .
Decrescente em