Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
.
Informações e observações dadas pelo enunciado:
Informações e observações dadas pelo enunciado:
- A função é
. - O termo
não está definido em , portanto qualquer primitiva é considerada em intervalos onde . - O objetivo é obter a família de todas as primitivas, isto é, uma expressão
tal que , contendo a constante de integração.
Passo 2
O que significa “primitiva” e regra de linearidade — explicação didática:
- Definição: uma função
é primitiva de em um intervalo se, para todo nesse intervalo, vale . - Constante de integração: se
é primitiva de , então (para qualquer constante real ) também é primitiva, porque a derivada de uma constante é zero. - Linearidade da integral/antiderivação: para constantes reais
e funções ,
Isto permite calcular primitivas termo a termo:
.
Passo 3
Fórmulas básicas que vou usar (e por que valem):
- Para a exponencial:
logo uma primitiva de
é
. Consequentemente, por fator constante, uma primitiva de
é
.
- Para
:
Portanto, uma primitiva de
é
. Note que o valor absoluto é necessário para cobrir tanto
quanto
.
Passo 4
Aplicando a linearidade e as fórmulas:
Calcular cada integral:
Agora juntar os resultados (somando as constantes em uma única constante
):
onde
é uma constante arbitrária real. Lembrar que a expressão vale para
.
Passo 5
Verificação por diferenciação (para confirmar que encontramos a primitiva correta):
Tomemos . Calculando
:
Tomemos
Portanto
, como pedido.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
- Se
então . - Se
então .
Esses exemplos usam exatamente as mesmas regras: fator constante + primitiva dee de .