Encontre as primitivas das funções:
f(x)=2 e^{x}-\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função \,f(x)=2e^{x}-\dfrac{1}{x}\,.
Informações e observações dadas pelo enunciado:
  • A função é \,f(x)=2e^{x}-\dfrac{1}{x}\,.
  • O termo \dfrac{1}{x} não está definido em x=0, portanto qualquer primitiva é considerada em intervalos onde x\neq0.
  • O objetivo é obter a família de todas as primitivas, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=f(x), contendo a constante de integração.

Passo 2

O que significa “primitiva” e regra de linearidade — explicação didática:
  • Definição: uma função F é primitiva de f em um intervalo se, para todo x nesse intervalo, vale F'(x)=f(x).
  • Constante de integração: se F é primitiva de f, então F+C (para qualquer constante real C) também é primitiva, porque a derivada de uma constante é zero.
  • Linearidade da integral/antiderivação: para constantes reais a,b e funções g,h,
\text{se }G'=g\text{ e }H'=h\text{ então }(aG+bH)'=ag+bh.ã
Isto permite calcular primitivas termo a termo: \displaystyle \int (a\,g(x)+b\,h(x))\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx.

Passo 3

Fórmulas básicas que vou usar (e por que valem):
  • Para a exponencial:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x},
logo uma primitiva de \,e^{x}\, é \,e^{x}\,. Consequentemente, por fator constante, uma primitiva de \,2e^{x}\, é 2e^{x}.
  • Para \dfrac{1}{x}:
\frac{d}{dx}\bigl(\ln|x|\bigr)=\frac{1}{x}\quad\text{para }x\neq0.
Portanto, uma primitiva de \dfrac{1}{x} é \ln|x|. Note que o valor absoluto é necessário para cobrir tanto x>0 quanto x<0.

Passo 4

Aplicando a linearidade e as fórmulas:
\int f(x)\,dx=\int\!\left(2e^{x}-\frac{1}{x}\right)\,dx = \int 2e^{x}\,dx - \int \frac{1}{x}\,dx.
Calcular cada integral:
\int 2e^{x}\,dx = 2\int e^{x}\,dx = 2e^{x} + C_{1},
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C_{2}.
Agora juntar os resultados (somando as constantes em uma única constante C):
\int\!\left(2e^{x}-\frac{1}{x}\right)\,dx = 2e^{x} - \ln|x| + C,
onde C=C_{1}-C_{2} é uma constante arbitrária real. Lembrar que a expressão vale para x\neq0.

Passo 5

Verificação por diferenciação (para confirmar que encontramos a primitiva correta):
Tomemos F(x)=2e^{x}-\ln|x|+C. Calculando F'(x):
F'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2e^{x}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(\ln|x|\bigr)+\frac{d}{dx}C =2e^{x}-\frac{1}{x}+0.
Portanto F'(x)=2e^{x}-\dfrac{1}{x}=f(x), como pedido.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • Se g(x)=3e^{x}+\dfrac{5}{x} então \displaystyle \int g(x)\,dx = 3e^{x}+5\ln|x|+C.
  • Se h(x)=e^{x}-\dfrac{7}{x} então \displaystyle \int h(x)\,dx = e^{x}-7\ln|x|+C.
    Esses exemplos usam exatamente as mesmas regras: fator constante + primitiva de e^{x} e de 1/x.

Resposta

F(x)=2e^{x}-\ln|x|+C

Exercícios relacionados