Encontre as primitivas das funções:
f(x)=-x^{3}-\operatorname{sec} ^{2} x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) da função f(x)=-x^{3}-\operatorname{sec}^{2}x.
Informações dadas:
  • A função dada é f(x)=-x^{3}-\operatorname{sec}^{2}x.
  • Deve-se fornecer a família de primitivas (ou seja, a antiderivada geral com constante de integração).

Passo 2

Regra útil (linearidade da integral): a primitiva de uma soma é a soma das primitivas, e uma constante pode sair da integral. Em fórmulas:
\int\big(g(x)+h(x)\big)\,dx=\int g(x)\,dx+\int h(x)\,dx, \qquad \int c\cdot g(x)\,dx=c\int g(x)\,dx.
Vou usar isso para integrar termo a termo -x^{3} e -\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 3

Primitiva do termo polinomial -x^{3}.
Regra do poder (power rule) para integrais: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=3. Então
\int -x^{3}\,dx=-\int x^{3}\,dx=-\frac{x^{4}}{4}.
Exemplo rápido para fixar: \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}, mesma ideia.

Passo 4

Primitiva do termo trigonométrico -\operatorname{sec}^{2}x.
Fato conhecido (é bom memorizar): a derivada da tangente é a secante ao quadrado,
\frac{d}{dx}\big(\tan x\big)=\operatorname{sec}^{2}x.
Assim, pela relação entre derivadas e primitivas,
\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx=\tan x.
Portanto, com o sinal negativo,
\int -\operatorname{sec}^{2}x\,dx=-\tan x.

Passo 5

Somando as primitivas dos dois termos (pela linearidade) e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
F(x)=-\frac{x^{4}}{4}-\tan x + C.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar segurança): derivando F,
F'(x)=\frac{d}{dx}\Big(-\frac{x^{4}}{4}\Big)+\frac{d}{dx}\big(-\tan x\big)=-x^{3}-\operatorname{sec}^{2}x,
que é exatamente f(x). Logo está correta.

Resposta

F(x)=-\frac{x^{4}}{4}-\tan x + C

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