Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função dada é
. - Deve-se fornecer a família de primitivas (ou seja, a antiderivada geral com constante de integração).
Passo 2
Regra útil (linearidade da integral): a primitiva de uma soma é a soma das primitivas, e uma constante pode sair da integral. Em fórmulas:
Vou usar isso para integrar termo a termo
e
.
Passo 3
Primitiva do termo polinomial
.
Regra do poder (power rule) para integrais: para
,
Aqui
. Então
Exemplo rápido para fixar:
, mesma ideia.
Passo 4
Primitiva do termo trigonométrico
.
Fato conhecido (é bom memorizar): a derivada da tangente é a secante ao quadrado,
Assim, pela relação entre derivadas e primitivas,
Portanto, com o sinal negativo,
Passo 5
Somando as primitivas dos dois termos (pela linearidade) e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva geral:
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar segurança): derivando
,
que é exatamente
. Logo está correta.