Encontre as primitivas das funções:
f(x)=\frac{5}{x^{-2}}-3 x^{-1}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas (ou antiderivadas) da função f(x)=\dfrac{5}{x^{-2}}-3 x^{-1}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{5}{x^{-2}}-3 x^{-1}.
  • Deve-se devolver a família de primitiva(s) F(x) tal que F'(x)=f(x).
  • Observar que a presença de x^{-1} implica que x\neq0 no domínio da função.

Passo 2

Primeiro simplifico a expressão para trabalhar com potências:
\frac{5}{x^{-2}} = 5\cdot x^{2},
logo a função fica
f(x)=5x^{2}-3x^{-1}.

Passo 3

Relembrando as regras básicas de integração que vou usar:
Regra da constante e potência (para n\neq-1):
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq-1.
Caso especial n=-1:
\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C.
Também vale a linearidade da integral:
\int \big(a\cdot g(x)+b\cdot h(x)\big)\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx.

Passo 4

Integro o primeiro termo 5x^{2}. Aqui n=2, portanto uso a regra da potência:
\int 5x^{2}\,dx = 5\int x^{2}\,dx = 5\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{5}{3}x^{3}.

Passo 5

Integro o segundo termo -3x^{-1}. Este é o caso especial n=-1, então uso a regra do logaritmo:
\int -3x^{-1}\,dx = -3\int x^{-1}\,dx = -3\ln|x|.

Passo 6

Junto os dois resultados e adiciono a constante de integração C:
F(x)=\frac{5}{3}x^{3}-3\ln|x|+C.

Passo 7

Verificação rápida por derivação (checar que F'(x)=f(x)):
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{5}{3}x^{3}\right)=5x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\!\big(-3\ln|x|\big)=-3\cdot\frac{1}{x}=-3x^{-1},
somando os termos obtém-se 5x^{2}-3x^{-1}, que é exatamente f(x). Então F está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{3}x^{3}-3\ln|x|+C

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