Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Implicitamente a variável
precisa ser tal que as raízes estejam definidas; portanto vamos trabalhar em .
O objetivo é encontrar uma funçãotal que ; ou seja, calcular .
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão de
transformando em potências, porque isso facilita a integração. Lembrando que
e, portanto,
. Assim:
Agora fatoramos
:
Passo 3
Vou lembrar a regra básica que vamos usar (regra da potência para integrais). Para qualquer real
,
onde:
-
é a variável de integração, -
é o expoente da potência, -
é a constante de integração (porque primitives são definidas até uma constante).
Essa fórmula vem do fato de que, ao derivar, obtém-se (pela regra do poder da diferenciação).
Passo 4
Aplicamos a regra à função que ficou:
. Aqui
. Então
Usando a fórmula com
:
Portanto
Passo 5
Converter
de volta para raiz e incluir a constante de integração:
Passo 6
Checagem rápida (método que dá segurança na prova): derivando
obtemos
o que confirma que
para
. Portanto a primitiva encontrada está correta.