Encontre as primitivas das funções:
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2 \sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas da função f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Implicitamente a variável x precisa ser tal que as raízes estejam definidas; portanto vamos trabalhar em x>0.
    O objetivo é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x); ou seja, calcular \int f(x)\,dx.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão de f(x) transformando em potências, porque isso facilita a integração. Lembrando que \sqrt{x}=x^{1/2} e, portanto, \dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}. Assim:
f(x)=x^{-1/2}-\tfrac{1}{2}x^{-1/2}.
Agora fatoramos x^{-1/2}:
f(x)=\Bigl(1-\tfrac{1}{2}\Bigr)x^{-1/2}=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}.

Passo 3

Vou lembrar a regra básica que vamos usar (regra da potência para integrais). Para qualquer real \alpha\neq-1,
\int x^{\alpha}\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C,
onde:
  • x é a variável de integração,
  • \alpha é o expoente da potência,
  • C é a constante de integração (porque primitives são definidas até uma constante).
    Essa fórmula vem do fato de que, ao derivar \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}, obtém-se x^{\alpha} (pela regra do poder da diferenciação).

Passo 4

Aplicamos a regra à função que ficou: \tfrac{1}{2}x^{-1/2}. Aqui \alpha=-\tfrac{1}{2}. Então
\int \tfrac{1}{2}x^{-1/2}\,dx=\tfrac{1}{2}\int x^{-1/2}\,dx.
Usando a fórmula com \alpha=-\tfrac{1}{2}:
\int x^{-1/2}\,dx=\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1}=\frac{x^{1/2}}{1/2}=2x^{1/2}.
Portanto
\tfrac{1}{2}\int x^{-1/2}\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot 2x^{1/2}=x^{1/2}.

Passo 5

Converter x^{1/2} de volta para raiz e incluir a constante de integração:
F(x)=\sqrt{x}+C,\qquad C\in\mathbb{R}.

Passo 6

Checagem rápida (método que dá segurança na prova): derivando F(x) obtemos
F'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{x}},
o que confirma que F'(x)=f(x) para x>0. Portanto a primitiva encontrada está correta.

Resposta

\sqrt{x}+C

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