Encontre o produto vetorial \mathbf{a} \times \mathbf{b}.
\mathbf{a}=\langle-2,3,4\rangle, \quad \mathbf{b}=\langle 3,0,1\rangle

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre o produto vetorial entre dois vetores. Os dados são:
  • \mathbf{a}=\langle -2,\,3,\,4\rangle.
  • \mathbf{b}=\langle 3,\,0,\,1\rangle.
A pergunta única é: calcular \mathbf{a}\times\mathbf{b}.

Passo 2

O que é o produto vetorial e como a gente vai calcular? Vou explicar de forma bem prática.
  • O produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular tanto a \mathbf{a} quanto a \mathbf{b}.
  • Uma forma prática de calcular é usar a expressão para as componentes: se \mathbf{a}=\langle a_1,\,a_2,\,a_3\rangle e \mathbf{b}=\langle b_1,\,b_2,\,b_3\rangle, então
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\big\langle a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\big\rangle.
  • Explicando cada símbolo:
    • a_1,a_2,a_3 são as componentes de \mathbf{a} nas direções x,y,z.
    • b_1,b_2,b_3 são as componentes de \mathbf{b} nas direções x,y,z.
    • A primeira componente do produto vetorial é a_2b_3-a_3b_2, a segunda é a_3b_1-a_1b_3 e a terceira é a_1b_2-a_2b_1.
  • Essa fórmula vem de fazer o determinante com os versores \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}, mas usar a forma direta das componentes é mais rápido e seguro na prova.

Passo 3

Agora aplico a fórmula aos nossos vetores. Primeiro identifico as componentes:
  • Para \mathbf{a}: a_1=-2, a_2=3, a_3=4.
  • Para \mathbf{b}: b_1=3, b_2=0, b_3=1.
Calculo cada componente do produto vetorial com contas passo a passo.
  1. Primeira componente:
a_2b_3-a_3b_2 = 3\cdot 1 - 4\cdot 0 = 3 - 0 = 3.
  1. Segunda componente:
a_3b_1-a_1b_3 = 4\cdot 3 - (-2)\cdot 1 = 12 - (-2) = 12 + 2 = 14.
  1. Terceira componente:
a_1b_2-a_2b_1 = (-2)\cdot 0 - 3\cdot 3 = 0 - 9 = -9.
Portanto
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\langle 3,\,14,\,-9\rangle.

Passo 4

É útil checar se o resultado faz sentido (um pequeno check que dá segurança na prova):
  • Verifico que o resultado é perpendicular aos dois vetores calculando os produtos internos: \mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = (-2)\cdot 3 + 3\cdot 14 + 4\cdot(-9) = -6 + 42 - 36 = 0,
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = 3\cdot 3 + 0\cdot 14 + 1\cdot(-9) = 9 + 0 - 9 = 0.
Como os dois produtos escalares deram 0, o vetor \langle 3,14,-9\rangle é de fato perpendicular a \mathbf{a} e a \mathbf{b}, como deve ser.
  • Como extra, a magnitude do produto vetorial (área do paralelogramo gerado) é
\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|=\sqrt{3^2+14^2+(-9)^2}=\sqrt{9+196+81}=\sqrt{286}.

Resposta

\langle 3,\,14,\,-9\rangle

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