Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \cdots(3 n-1) 3 n}
Encontrar o raio de convergência da série (ou seja, o R tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R).
Encontrar o intervalo de convergência (no caso real: para quais x\in\mathbb{R} a série converge).
Informações importantes que estão no enunciado:
O produto do denominador pode ser escrito de forma compacta como \prod_{k=1}^{n}(3k-1)(3k). Ou seja, para cada n o denominador é o produto dos pares (3\cdot 1-1)(3\cdot1), (3\cdot2-1)(3\cdot2), …, (3n-1)(3n).
A potência no numerador é x^{3n}, ou seja, só aparecem potências de x múltiplas de 3.
Passo 2
Para simplificar o trabalho com potência, faz sentido substituir
Explicar a vantagem: agora temos uma série da forma \sum b_n y^n. Encontrando o raio de convergência em y (denotar por R_y), podemos passar para x usando y=x^3. O raio em x será R_x = R_y^{1/3} (se R_y for finito); se R_y=\infty então R_x=\infty.
Passo 3
Vou aplicar o teste da razão (ratio test) às séries de potências em y. Lembrete do teste da razão: para uma série \sum b_n y^n calcule
L := \lim_{n\to\infty} \left|\frac{b_{n+1} y^{\,n+1}}{b_n y^n}\right| = |y|\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}.
Se L<1 a série converge absolutamente.
Se L>1 diverge.
Se L=1 o teste é inconclusivo.
Portanto precisamos de \lim_{n\to\infty} \dfrac{b_{n+1}}{b_n}. Calculemos explicitamente b_{n+1}/b_n usando a definição b_n = 1/\prod_{k=1}^n(3k-1)(3k).
Isto é, para todo y\in\mathbb{R} (ou y\in\mathbb{C}) temos L=0<1, portanto a série \sum b_n y^n converge absolutamente para qualquer y.
Explicação intuitiva: os coeficientes b_n decrescem muito rápido — a razão entre coeficientes tende a zero — então multiplicando por qualquer y^n a razão entre termos sucessivos ainda tende a zero, garantindo convergência absoluta para qualquer y.
Passo 6
Conclusão para y: o raio de convergência em y é infinito, isto é
R_y=\infty.
Tranformando de volta para x pela relação y=x^3: se a série converge para todo y, então converge para todo x também (pois qualquer x produz um y finito). Portanto o raio de convergência em x é
R_x=\infty.
Em termos reais, o intervalo de convergência é todo \mathbb{R}: (-\infty,\infty). Além disso a convergência é absoluta para todo x.
Passo 7
Breve comentário didático/adicional (para lembrar no momento da prova): sempre que os coeficientes a_n de uma série de potências decrescem tão rápido que \lim_{n\to\infty} a_{n+1}/a_n=0, a série tem raio infinito — porque o teste da razão dá limite zero independentemente do x. Um exemplo similar e simples é a série \sum \frac{x^n}{n!}, cuja razão \frac{1}{n+1}\to0 garante convergência para todo x.