Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede:
- o raio de convergência (em termos de
); - o intervalo de convergência (para
real).
Informações relevantes dadas:
- o termo geral da série é
; - a série depende de
através do fator ; - há um fator
que influencia a convergência nos pontos fronteira.
Passo 2
Escolhemos aplicar o teste da raiz (root test). Vou explicar o teste da raiz de forma simples:
- Para uma série
com termos complexos (ou reais) define-se . - Se
a série converge absolutamente. - Se
a série diverge. - Se
o teste é inconclusivo (precisamos analisar caso a caso).
Agora calculemos
para a nossa série.
Passo 3
Primeiro escrevo o módulo do termo e sua raiz
-ésima:
Observação importante sobre o fator
: como
(porque
), obtemos
Passo 4
Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente se e somente se
ou seja
Para
real esta desigualdade é equivalente a
A segunda desigualdade
é a que determina o conjunto (a outra
não gera raízes reais limites porque a equação
não tem raízes reais). Assim basta resolver
Resolvendo a equação quadrática associada
obtemos as raízes
Como o coeficiente quadrático é positivo, a desigualdade
é satisfeita entre as raízes. Logo o conjunto de convergência interior é
Passo 5
Agora analisamos os pontos extremos (as fronteiras) para ver se a série converge nesses pontos.
Se
é uma das extremidades, então
e
Portanto o termo geral da série nesses pontos é
A série
diverge, pois é uma série p com
. Assim, em ambas as extremidades a série diverge. Conclusão: as extremidades não pertencem ao intervalo de convergência.
Passo 6
Podemos também interpretar geometricamente o intervalo: os dois extremos são
, cujo ponto médio é
e metade do comprimento do intervalo (o “raio” no eixo
) é
. Portanto o intervalo de convergência aberto é
e o raio de convergência em torno do centro
é
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência: