Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
\frac{(2 x-1)^{n} x^{n}}{5^{n} \sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x-1)^{n}x^{n}}{5^{n}\sqrt{n}}
e pede:
  • o raio de convergência (em termos de x);
  • o intervalo de convergência (para x real).
Informações relevantes dadas:
  • o termo geral da série é a_n=\dfrac{(2x-1)^{n}x^{n}}{5^{n}\sqrt{n}};
  • a série depende de x através do fator \dfrac{(2x-1)^{n}x^{n}}{5^{n}}=\left(\dfrac{2x^{2}-x}{5}\right)^{n};
  • há um fator \dfrac{1}{\sqrt{n}} que influencia a convergência nos pontos fronteira.

Passo 2

Escolhemos aplicar o teste da raiz (root test). Vou explicar o teste da raiz de forma simples:
  • Para uma série \sum a_n com termos complexos (ou reais) define-se L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
  • Se L<1 a série converge absolutamente.
  • Se L>1 a série diverge.
  • Se L=1 o teste é inconclusivo (precisamos analisar caso a caso).
Agora calculemos \sqrt[n]{|a_n|} para a nossa série.

Passo 3

Primeiro escrevo o módulo do termo e sua raiz n-ésima:
|a_n|=\frac{|2x^{2}-x|^{n}}{5^{n}\sqrt{n}}, \qquad \sqrt[n]{|a_n|}=\frac{|2x^{2}-x|}{5}\cdot \frac{1}{n^{1/(2n)}}.
Observação importante sobre o fator n^{1/(2n)}: como \displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{1/(2n)}=1 (porque \frac{\ln n}{2n}\to 0), obtemos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{|2x^{2}-x|}{5}.

Passo 4

Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente se e somente se
\frac{|2x^{2}-x|}{5}<1,
ou seja
|2x^{2}-x|<5.
Para x real esta desigualdade é equivalente a
-5<2x^{2}-x<5.
A segunda desigualdade 2x^{2}-x<5 é a que determina o conjunto (a outra 2x^{2}-x>-5 não gera raízes reais limites porque a equação 2x^{2}-x+5=0 não tem raízes reais). Assim basta resolver
2x^{2}-x-5<0.
Resolvendo a equação quadrática associada 2x^{2}-x-5=0 obtemos as raízes
x=\frac{1\pm\sqrt{1+40}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{41}}{4}.
Como o coeficiente quadrático é positivo, a desigualdade 2x^{2}-x-5<0 é satisfeita entre as raízes. Logo o conjunto de convergência interior é
\left(\frac{1-\sqrt{41}}{4},\;\frac{1+\sqrt{41}}{4}\right).

Passo 5

Agora analisamos os pontos extremos (as fronteiras) para ver se a série converge nesses pontos.
Se x é uma das extremidades, então 2x^{2}-x=5 e
\frac{2x^{2}-x}{5}=1.
Portanto o termo geral da série nesses pontos é
a_n=\frac{1^{n}}{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}.
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}} diverge, pois é uma série p com p=\tfrac{1}{2}\le 1. Assim, em ambas as extremidades a série diverge. Conclusão: as extremidades não pertencem ao intervalo de convergência.

Passo 6

Podemos também interpretar geometricamente o intervalo: os dois extremos são
\dfrac{1\pm\sqrt{41}}{4}, cujo ponto médio é
\dfrac{1}{4} e metade do comprimento do intervalo (o “raio” no eixo x) é
\dfrac{\sqrt{41}}{4}. Portanto o intervalo de convergência aberto é
\left(\frac{1-\sqrt{41}}{4},\;\frac{1+\sqrt{41}}{4}\right)
e o raio de convergência em torno do centro x=\dfrac{1}{4} é
R=\frac{\sqrt{41}}{4}.

Resposta

Raio de convergência: \dfrac{\sqrt{41}}{4}
Intervalo de convergência: \displaystyle\left(\frac{1-\sqrt{41}}{4},\;\frac{1+\sqrt{41}}{4}\right)

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