Encontre a) o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge b)absolutamente e c) condicionalmente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que mistura séries infinitas e convergência. A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo onde a série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar se uma série converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste diz que, se , então:
Então, o raio de convergência é , e o intervalo de convergência é .
Passo 5
Agora, vamos verificar o que acontece nas extremidades do intervalo, ou seja, em 3x + 1 = 3(-23) + 1 = -2 + 1 = -1 A série fica sumn=1^infty (-1)^n2n + 2 e 3x + 1 = 1 A série fica sumn=1^infty 12n + 2 .
Para :
é
Isso é uma série alternada. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se é decrescente e , a série converge. Aqui, é decrescente e tende a zero, então a série converge condicionalmente.
Para :
é
Isso é uma série p onde , que é a série harmônica modificada. Sabemos que a série harmônica diverge, então aqui a série também diverge.