Encontre a) o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge b)absolutamente e c) condicionalmente. sumn=1^infty((3 x+1)^n(2 n+2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que mistura séries infinitas e convergência. A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo onde a série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar se uma série converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste diz que, se an+1an = (3x + 1)^n+12(n+1) + 2(3x + 1)^n2n + 2 = (3x + 1)^n+1(3x + 1)^n cdot 2n + 22n + 4 = (3x + 1) cdot 2n + 22n + 4 , então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não conclui nada.
Aqui, . Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite:
limn to infty | (3x + 1) cdot 2n + 22n + 4 | = |3x + 1| cdot limn to infty 2n + 22n + 4 = |3x + 1| cdot 1 = |3x + 1|
Para que a série converja, precisamos que esse limite seja menor que 1:
|3x + 1| < 1

Passo 4

Vamos resolver a inequação:
|3x + 1| < 1 -1 < 3x + 1 < 1 -2 < 3x < 0 -23 < x < 0
Então, o raio de convergência é , e o intervalo de convergência é .

Passo 5

Agora, vamos verificar o que acontece nas extremidades do intervalo, ou seja, em 3x + 1 = 3(-23) + 1 = -2 + 1 = -1 A série fica sumn=1^infty (-1)^n2n + 2 e 3x + 1 = 1 A série fica sumn=1^infty 12n + 2 .
  1. Para :
    é
    Isso é uma série alternada. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se é decrescente e , a série converge. Aqui, é decrescente e tende a zero, então a série converge condicionalmente.
  2. Para :
    é
    Isso é uma série p onde , que é a série harmônica modificada. Sabemos que a série harmônica diverge, então aqui a série também diverge.

Resposta

  • Raio de convergência:
  • Intervalo de convergência:
  • Convergência absoluta: Para
  • Convergência condicional: Em

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