Encontre todas as assíntotas horizontais e verticais de cada uma das curvas a seguir, justificando seu cálculo com o respectivo limite.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de encontrar as assíntotas horizontais e verticais da curva
. Para isso, vamos usar conceitos de limites que nos ajudam a identificar o comportamento da função em diferentes pontos, tanto em valores grandes de
quanto onde o denominador da fração se anula.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos valores de
que fazem o denominador da fração ser zero, mas que não cancelam com o numerador. Então, vamos encontrar onde
.
Resolvendo a equação quadrática:
Podemos fatorar:
Assim, as soluções são
e
. Agora, precisamos verificar se essas raízes cancelam com o numerador
.
Fatorando o numerador:
Observamos que
é um fator comum, então cancela:
Portanto,
é uma raiz que foi cancelada, mas
permanece como uma assíntota vertical.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o limite de
quando
tende ao infinito e a menos infinito.
A função é:
Primeiro, calculamos o limite quando
:
Como o limite é infinito, não há assíntota horizontal quando
.
Agora, calculamos o limite quando
:
Portanto, há uma assíntota horizontal em
quando
tende a menos infinito.
Resposta
A curva possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
.