Encontre as raízes das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as raízes da função
O que se quer: encontrar todos os valores de
tais que
, ou seja resolver a equação
Informações dadas:
- O polinômio é
. - Não há outras restrições (por exemplo intervalo) — então buscamos todas as raízes reais (ou complexas, se necessário).
Passo 2
O que é uma raiz: um número
é raiz da função quando substituído em
torna
. Para uma expressão quadrática genérica usamos a forma padrão
onde
,
e
são números (coeficientes). Identificando os coeficientes no nosso caso:
Passo 3
Método escolhido e porquê: a maneira mais direta e confiável para resolver qualquer equação quadrática é aplicar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara). Vou primeiro derivar brevemente essa fórmula por completar quadrado — assim você entende de onde vem e aprende a usar na prova sem decorar mecanicamente.
Derivação da fórmula quadrática (passo a passo):
Partimos de
Partimos de
- Dividir tudo por
(assumindo ):
- Isolar os termos em
:
- Completar o quadrado: adiciona-se
aos dois lados para transformar o lado esquerdo em um quadrado perfeito:
- O lado esquerdo fica
. O lado direito simplifica para . Assim:
- Tomando raiz quadrada (mais/menos) e isolando
:
Essa é a fórmula quadrática. A expressão dentro da raiz
é chamada discriminante; ela informa o tipo de raízes:
- Se
: duas raízes reais e distintas. - Se
: uma raiz real dupla. - Se
: duas raízes complexas conjugadas.
Passo 4
Calcular o discriminante para o nosso polinômio usando
,
,
:
Como
, teremos duas raízes reais e distintas.
Passo 5
Aplicar a fórmula quadrática substituindo os coeficientes:
Simplificar
. Como
, tem-se
. Substituindo:
Portanto as duas raízes, em forma exata, são
e
.
Passo 6
Se quiser uma ideia numérica rápida (útil para conferir):
, então as aproximações são
Mas mantenha as formas exatas
para respostas na prova.