Encontre as raízes das funções abaixo:
f(x)=x^{2}+6 x+4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes da função
f(x)=x^{2}+6x+4.
O que se quer: encontrar todos os valores de x tais que f(x)=0, ou seja resolver a equação
x^{2}+6x+4=0.
Informações dadas:
  • O polinômio é \,x^{2}+6x+4.
  • Não há outras restrições (por exemplo intervalo) — então buscamos todas as raízes reais (ou complexas, se necessário).

Passo 2

O que é uma raiz: um número x é raiz da função quando substituído em f(x) torna f(x)=0. Para uma expressão quadrática genérica usamos a forma padrão
ax^{2}+bx+c=0,
onde a, b e c são números (coeficientes). Identificando os coeficientes no nosso caso:
a=1,\qquad b=6,\qquad c=4.

Passo 3

Método escolhido e porquê: a maneira mais direta e confiável para resolver qualquer equação quadrática é aplicar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara). Vou primeiro derivar brevemente essa fórmula por completar quadrado — assim você entende de onde vem e aprende a usar na prova sem decorar mecanicamente.
Derivação da fórmula quadrática (passo a passo):
Partimos de
ax^{2}+bx+c=0.
  1. Dividir tudo por a (assumindo a\neq0):
x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.
  1. Isolar os termos em x:
x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.
  1. Completar o quadrado: adiciona-se \left(\dfrac{b}{2a}\right)^{2} aos dois lados para transformar o lado esquerdo em um quadrado perfeito:
x^{2}+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}.
  1. O lado esquerdo fica \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}. O lado direito simplifica para \dfrac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}. Assim:
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}.
  1. Tomando raiz quadrada (mais/menos) e isolando x:
x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \quad\Rightarrow\quad x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Essa é a fórmula quadrática. A expressão dentro da raiz
\Delta=b^{2}-4ac
é chamada discriminante; ela informa o tipo de raízes:
  • Se \Delta>0: duas raízes reais e distintas.
  • Se \Delta=0: uma raiz real dupla.
  • Se \Delta<0: duas raízes complexas conjugadas.

Passo 4

Calcular o discriminante para o nosso polinômio usando a=1, b=6, c=4:
\Delta=b^{2}-4ac=6^{2}-4\cdot1\cdot4=36-16=20.
Como \Delta=20>0, teremos duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Aplicar a fórmula quadrática substituindo os coeficientes:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-6\pm\sqrt{20}}{2\cdot1}=\frac{-6\pm\sqrt{20}}{2}.
Simplificar \sqrt{20}. Como 20=4\cdot5, tem-se \sqrt{20}=2\sqrt{5}. Substituindo:
x=\frac{-6\pm 2\sqrt{5}}{2}=\frac{2(-3\pm\sqrt{5})}{2}=-3\pm\sqrt{5}.
Portanto as duas raízes, em forma exata, são -3+\sqrt{5} e -3-\sqrt{5}.

Passo 6

Se quiser uma ideia numérica rápida (útil para conferir): \sqrt{5}\approx 2{,}236\ldots, então as aproximações são
x_{1}\approx -3+2{,}236\approx -0{,}764, \qquad x_{2}\approx -3-2{,}236\approx -5{,}236.
Mas mantenha as formas exatas -3\pm\sqrt{5} para respostas na prova.

Resposta

-3+\sqrt{5}
-3-\sqrt{5}

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