Encontre uma relação entre a, b e c sabendo que
\left\{ \begin{array}{l} \operatorname{sen} x+\operatorname{sen} y=a \\\ \cos x+\cos y=b \\\ \cos (x-y)=c \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} \sin x + \sin y = a,\\\ \cos x + \cos y = b,\\\ \cos(x-y) = c, \end{cases}
e pede uma relação entre a, b e c. Vamos usar as identidades de soma para seno e cosseno e a identidade do cosseno de diferença.

Passo 2

Aplicamos as fórmulas de soma em produto:
\sin x + \sin y = 2 \sin\!\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr)\,\cos\!\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr),
\cos x + \cos y = 2 \cos\!\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr)\,\cos\!\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr).
Definindo S = x+y e D = x-y, as duas primeiras equações viram
2 \sin\!\bigl(\tfrac{S}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr) = a, \quad 2 \cos\!\bigl(\tfrac{S}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr) = b.

Passo 3

A terceira equação é \cos D = c. Usando
\cos D = 2\cos^2\!\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr) - 1
obtemos
\cos^2\!\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr) = \frac{c+1}{2}.

Passo 4

Agora calculamos a^2 + b^2:
a^2 + b^2 = \bigl[2\sin\!\tfrac{S}{2}\cos\!\tfrac{D}{2}\bigr]^2 + \bigl[2\cos\!\tfrac{S}{2}\cos\!\tfrac{D}{2}\bigr]^2 = 4\cos^2\!\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr)\bigl[\sin^2\!\tfrac{S}{2}+\cos^2\!\tfrac{S}{2}\bigr].
Como \sin^2\!\tfrac{S}{2}+\cos^2\!\tfrac{S}{2}=1, segue
a^2 + b^2 = 4\,\cos^2\!\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr) = 4\cdot\frac{c+1}{2} = 2\,(c+1).

Resposta

\boxed{a^2 + b^2 = 2\,(1 + c)}.

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