Se a \operatorname{sen} x+\cos x=a, calcule \cos x.

Passo 1

O enunciado dá
a\sin x+\cos x = a
e pede \cos x. Vamos usar a identidade trigonométrica
\sin^2 x + \cos^2 x = 1
para transformar a equação numa relação quadrática em \cos x.

Passo 2

Antes de dividir por a, verificamos o caso a=0. Se a=0, a equação fica
0\cdot \sin x + \cos x = 0
ou seja \cos x=0.

Passo 3

Agora suponha a\neq0. Isolamos \sin x:
a\sin x = a - \cos x
\sin x = \frac{a - \cos x}{a}

Passo 4

Substituímos em \sin^2 x + \cos^2 x =1:
\Bigl(\frac{a - \cos x}{a}\Bigr)^2 + \cos^2 x = 1
Multiplicando por a^2 e reorganizando, obtemos
(a - \cos x)^2 + a^2\cos^2 x = a^2
a^2 - 2a\cos x + \cos^2 x + a^2\cos^2 x - a^2 = 0
(1 + a^2)\cos^2 x - 2a\,\cos x = 0

Passo 5

Fatorando a equação em \cos x:
\cos x\bigl((1+a^2)\cos x - 2a\bigr) = 0
logo as soluções são
\cos x = 0 \quad\text{ou}\quad \cos x = \frac{2a}{1+a^2}.

Resposta

\cos x = 0 ou \displaystyle \cos x = \frac{2a}{1+a^2}.

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