Encontre a representação decimal dos seguintes números:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a representação decimal do número dado
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- O numerador é
. - O denominador é
.
A tarefa é escrevercomo um número decimal (pode ser finito ou periódico).
Passo 2
Como vamos proceder (sem complicar): fazer a divisão entre
e
(divisão inteira + transformar o resto em parte decimal). Vou explicar a ideia básica bem devagar:
- Quando dividimos um inteiro por outro, obtemos uma parte inteira (quociente) e um resto. Escrevemos a parte decimal trazendo zeros para o resto e dividindo de novo.
- Se em algum ponto o resto já apareceu antes, a sequência de dígitos decimais entre as duas ocorrências do mesmo resto se repete indefinidamente. Isso gera um decimal periódico.
- Observação prática: o denominador
tem fator além de e ; por isso o decimal NÃO será finito: haverá repetição.
Passo 3
Façamos a divisão passo a passo (long division em linguagem simples):
- Divisão inteira:
-
cabe em um total de vezes, pois . - Portanto
. Aqui o resto (após a parte inteira) é .
- Transformar a fração
em decimal trazendo zeros:
- Trago um zero ao resto
, obtendo . Dividindo por dá quociente porque , resto . Então o primeiro dígito decimal é . - Trago outro zero ao resto
, obtendo . Dividindo por dá quociente porque , resto . Então o segundo dígito decimal é . - Agora o resto voltou a ser
, exatamente o mesmo resto que apareceu antes. Isso significa que a partir desse ponto os dígitos vão se repetir com o mesmo padrão. Aqui o padrão repetido é apenas o dígito .
Portanto os dígitos decimais são: primeiro
, depois vem
e a seguir uma repetição infinita de
. Escrevendo de forma usual em português decimal:
(ou seja
).
Passo 4
Explicação algébrica rápida para confirmar (para treinar a técnica que aparece em provas):
- Seja
. O período tem comprimento (o dígito ), e há dígito não periódico após a vírgula (o inicial). - Multiplico por
para deslocar a parte não periódica: . - Multiplico por
para alinhar repetições: . - Subtraindo:
. - Então
. Simplificando ambas por : .
Isto confirma que.