Encontre a representação decimal dos seguintes números:
\frac{67}{15}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a representação decimal do número dado \dfrac{67}{15}.
Informações fornecidas:
  • O numerador é \,67.
  • O denominador é \,15.
    A tarefa é escrever \dfrac{67}{15} como um número decimal (pode ser finito ou periódico).

Passo 2

Como vamos proceder (sem complicar): fazer a divisão entre 67 e 15 (divisão inteira + transformar o resto em parte decimal). Vou explicar a ideia básica bem devagar:
  • Quando dividimos um inteiro por outro, obtemos uma parte inteira (quociente) e um resto. Escrevemos a parte decimal trazendo zeros para o resto e dividindo de novo.
  • Se em algum ponto o resto já apareceu antes, a sequência de dígitos decimais entre as duas ocorrências do mesmo resto se repete indefinidamente. Isso gera um decimal periódico.
  • Observação prática: o denominador 15=3\cdot5 tem fator 3 além de 2 e 5; por isso o decimal NÃO será finito: haverá repetição.

Passo 3

Façamos a divisão passo a passo (long division em linguagem simples):
  1. Divisão inteira:
  • 15 cabe em 67 um total de 4 vezes, pois 15\cdot4=60.
  • Portanto \dfrac{67}{15}=4+\dfrac{7}{15}. Aqui o resto (após a parte inteira) é 7.
  1. Transformar a fração \dfrac{7}{15} em decimal trazendo zeros:
  • Trago um zero ao resto 7, obtendo 70. Dividindo 70 por 15 dá quociente 4 porque 15\cdot4=60, resto 70-60=10. Então o primeiro dígito decimal é 4.
  • Trago outro zero ao resto 10, obtendo 100. Dividindo 100 por 15 dá quociente 6 porque 15\cdot6=90, resto 100-90=10. Então o segundo dígito decimal é 6.
  • Agora o resto voltou a ser 10, exatamente o mesmo resto que apareceu antes. Isso significa que a partir desse ponto os dígitos vão se repetir com o mesmo padrão. Aqui o padrão repetido é apenas o dígito 6.
Portanto os dígitos decimais são: primeiro 4, depois vem 4 e a seguir uma repetição infinita de 6. Escrevendo de forma usual em português decimal: \,4,4\overline{6} (ou seja 4,4666\ldots).

Passo 4

Explicação algébrica rápida para confirmar (para treinar a técnica que aparece em provas):
  • Seja x=4,4\overline{6}. O período tem comprimento 1 (o dígito 6), e há 1 dígito não periódico após a vírgula (o 4 inicial).
  • Multiplico por 10 para deslocar a parte não periódica: 10x=44,\overline{6}.
  • Multiplico por 100 para alinhar repetições: 100x=446,\overline{6}.
  • Subtraindo: 100x-10x=90x=446,\overline{6}-44,\overline{6}=402.
  • Então x=\dfrac{402}{90}. Simplificando ambas por 6: x=\dfrac{67}{15}.
    Isto confirma que \dfrac{67}{15}=4,4\overline{6}.

Resposta

\dfrac{67}{15}=4,4\overline{6}

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