Encontre uma representação paramétrica e um vetor normal.
Parabolóide elíptico z=4 x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma representação paramétrica e um vetor normal para o paraboloide elíptico definido por z = 4x² + y². O conteúdo envolve parametrização de superfícies e cálculo de vetor normal via derivadas parciais e produto vetorial.

Passo 2

Para parametrizar a superfície, basta usar as próprias variáveis x e y como parâmetros. Definimos x = u e y = v, de modo que z fique em função de (u,v). Assim temos:
r(u,v) = (u, ; v, ; 4u^2 + v^2)

Passo 3

Para obter o vetor normal, calculamos as derivadas parciais de r(u,v) em relação a u e v, e em seguida fazemos o produto vetorial. Primeiro:
ru = partial rpartial u = (1,;0,;8u), rv = partial rpartial v = (0,;1,;2v)

Passo 4

Agora o vetor normal é dado por N = ru times rv. Calculando o determinante
N = i & j & k 1 & 0 & 8u 0 & 1 & 2v = (-8u,;-2v,;1)

Resposta

Representação paramétrica: r(u,v) = (u,;v,;4u^2+v^2).
Vetor normal: N(u,v) = (-8u,;-2v,;1).

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