Encontre uma representação em série de potências para cada função abaixo e determine, se possível, o raio de convergência e o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{x}{1-x};

Passo 1

O enunciado pede para escrever
f(x)=\frac{x}{1-x}
na forma de série de potências, além de determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência. O conteúdo é a série geométrica e suas condições de validade.

Passo 2

Lembramos que, sempre que |x|<1, vale a expansão da série geométrica
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n.

Passo 3

Multiplicando essa expansão por x, obtemos
\frac{x}{1-x}=x\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1}.
Reindexando com m=n+1, chega-se a
\frac{x}{1-x}=\sum_{m=1}^{\infty}x^m.

Passo 4

O raio de convergência dessa série é o mesmo da geométrica original, ou seja
R=1.

Passo 5

A condição |x|<1 define o intervalo de convergência aberto
(-1,1).
Nos extremos x=1 e x=-1 a série não converge.

Resposta

\frac{x}{1-x}=\sum_{n=1}^{\infty}x^n,\quad R=1,\quad x\in(-1,1).

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