Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x^{n}}{1.3 .5 \ldots(2 n-1)}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\,x^{n}}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}.
O conteúdo é análise de séries de potências e usaremos o teste da razão para encontrar R.

Passo 2

Denotamos o termo geral por
a_n x^n \quad\text{com}\quad a_n = \frac{n}{(2n-1)!!},
onde (2n-1)!! = 1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1).

Passo 3

Aplicamos o teste da razão analisando
\biggl|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\biggr| = |x|\;\frac{n+1}{n}\;\frac{(2n-1)!!}{(2n+1)!!} = |x|\;\frac{n+1}{n}\;\frac{1}{2n+1}.

Passo 4

Calculamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\biggl|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\biggr| = \lim_{n\to\infty} |x|\;\frac{n+1}{n(2n+1)} = |x|\;\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n} = 0.
Como esse limite vale 0 para todo x, a série converge para qualquer valor de x.

Passo 5

Pela definição de raio de convergência, se a razão tende a zero para todo x, então
R = \infty,
e o intervalo de convergência é todo o eixo real.

Resposta

O raio de convergência é R=\infty e o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

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