Encontre uma representação em série de potências para cada função abaixo e determine, se possível, o raio de convergência e o intervalo de convergência.
;
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma representação em série de potências para
e determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência. O conteúdo aqui é séries de Taylor centradas em
, usando as expansões conhecidas de
e
.
Passo 2
Lembramos das séries de Taylor para
e
válidas em
:
Passo 3
Escrevendo
e substituindo as séries, obtemos
Note que
vale
se
é ímpar e
se
é par. Logo só restam os termos de ordem ímpar
:
Passo 4
Extraindo apenas os
,
, temos
válido para
.
Passo 5
Para determinar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão a
. Observa-se facilmente que a fronteira é
. Portanto o raio de convergência é
Passo 6
No ponto
a série vira
, que diverge (série harmônica dos ímpares).
Em a série também diverge. Logo o intervalo de convergência é aberto:
Em