Encontre uma representação em série de potências para cada função abaixo e determine, se possível, o raio de convergência e o intervalo de convergência.
f(x)=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right);

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma representação em série de potências para
f(x)=\ln\!\Bigl(\frac{1+x}{1-x}\Bigr)
e determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência. O conteúdo aqui é séries de Taylor centradas em 0, usando as expansões conhecidas de \ln(1+x) e \ln(1-x).

Passo 2

Lembramos das séries de Taylor para \ln(1+x) e \ln(1-x) válidas em |x|<1:
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\,\frac{x^n}{n},
\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}.

Passo 3

Escrevendo
f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x)
e substituindo as séries, obtemos
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\frac{x^n}{n} \;+\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[(-1)^{\,n-1}+1\Bigr]\frac{x^n}{n}.
Note que (-1)^{\,n-1}+1 vale 2 se n é ímpar e 0 se n é par. Logo só restam os termos de ordem ímpar n=2k-1:

Passo 4

Extraindo apenas os n=2k-1, k=1,2,3,\dots, temos
f(x) =2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{2k-1}}{2k-1} =2\Bigl(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots\Bigr),
válido para |x|<1.

Passo 5

Para determinar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão a
\displaystyle a_{k}=\frac{2}{2k-1}x^{2k-1}. Observa-se facilmente que a fronteira é |x|=1. Portanto o raio de convergência é
R=1.

Passo 6

No ponto x=1 a série vira
\;2\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2k-1}, que diverge (série harmônica dos ímpares).
Em x=-1 a série também diverge. Logo o intervalo de convergência é aberto:
-1<x<1.

Resposta

\ln\!\Bigl(\frac{1+x}{1-x}\Bigr) =2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{2k-1}}{2k-1}, \quad R=1, \quad\text{intervalo de convergência }(-1,1).ê

Exercícios relacionados