Encontre uma representação em série de potências para cada função abaixo e determine, se possível, o raio de convergência e o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{2}{3 x+4};

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de
f(x)=\frac{2}{3x+4},
ou seja, escrever f(x) como \sum_{n=0}^\infty a_n x^n, e determinar o raio de convergência R e o intervalo de convergência.

Passo 2

Para usar a série geométrica, escrevemos
f(x)=\frac{2}{3x+4}=\frac{2}{4\bigl(1+\frac{3x}{4}\bigr)} =\frac{1}{2}\,\frac{1}{1-\bigl(-\tfrac{3x}{4}\bigr)}.

Passo 3

Lembrando que, para \lvert t\rvert<1,
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n,
aqui temos t=-\tfrac{3x}{4}. Logo,
\frac{1}{1-(-\tfrac{3x}{4})} =\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{3x}{4}\Bigr)^n.

Passo 4

Multiplicando o fator \tfrac12, obtemos
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac12\Bigl(-\tfrac{3x}{4}\Bigr)^n =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{3^n}{2\cdot4^n}\,x^n =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{3^n}{2^{2n+1}}\,x^n.

Passo 5

O raio de convergência vem da condição \lvert t\rvert<1, ou seja,
\Bigl\lvert-\tfrac{3x}{4}\Bigr\rvert<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|<\frac{4}{3}.
Portanto,
R=\frac{4}{3}.

Passo 6

O intervalo de convergência é -\tfrac{4}{3}<x<\tfrac{4}{3}. Nos extremos x=\pm\tfrac{4}{3} a série vira \sum(-1)^n ou \sum1^n, ambas divergentes.

Resposta

\frac{2}{3x+4} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{3^n}{2\cdot4^n}\,x^n \quad\text{com}\quad R=\frac{4}{3}, \quad x\in\bigl(-\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\bigr).

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