Encontre uma representação em série de potências, centrada em x_{0}, para a função e determine o raio de convergência:
f(x)=\frac{x^{3}}{(x-3)^{2}} e x_{0}=1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar uma representação em série de potências, centrada em x_{0}=1, para a função f(x)=\dfrac{x^{3}}{(x-3)^{2}}.
  • Determinar o raio de convergência dessa série.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x^{3}}{(x-3)^{2}}.
  • O centro da série é x_{0}=1.

Passo 2

Primeiro vamos mudar a variável para trabalhar com potências de (x-1). Definimos
h := x-1,
então
x = 1+h.
Reescrever f em termos de h facilita a expansão em potências de h, que é a mesma coisa que em potências de (x-1).

Passo 3

Substituindo x=1+h em f obtemos
f(x)=\frac{(1+h)^{3}}{(1+h-3)^{2}}=\frac{(1+h)^{3}}{(h-2)^{2}}.
Note que (h-2)^{2}=(2-h)^{2}=4\bigl(1-\tfrac{h}{2}\bigr)^{2}. Portanto
f(x)=\frac{(1+h)^{3}}{4\bigl(1-\tfrac{h}{2}\bigr)^{2}}=\frac{1}{4}\,(1+h)^{3}\,\bigl(1-\tfrac{h}{2}\bigr)^{-2}.

Passo 4

Vamos expandir os dois fatores que aparecem:
  • O polinômio (1+h)^{3} é exatamente
(1+h)^{3}=1+3h+3h^{2}+h^{3}.
  • O fator \bigl(1-\tfrac{h}{2}\bigr)^{-2} pode ser expandido pela série binomial (ou derivando a série geométrica). A série conhecida é
\bigl(1-t\bigr)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,t^{n}\qquad\text{para }|t|<1.
Substituindo t=\tfrac{h}{2}
\bigl(1-\tfrac{h}{2}\bigr)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\left(\tfrac{h}{2}\right)^{n}\qquad\text{para }\bigl|\tfrac{h}{2}\bigr|<1.

Passo 5

Multiplicando o polinômio pelo desenvolvimento em série obtemos
f(x)=\frac{1}{4}\,(1+3h+3h^{2}+h^{3})\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\left(\tfrac{h}{2}\right)^{n}.
Para escrever isso como uma única série em potências de h (ou seja, em potências de x-1) fazemos a convolução dos coeficientes: o coeficiente de h^{n} é a soma dos produtos dos coeficientes do polinômio com os coeficientes da série deslocados.

Passo 6

Chamando os coeficientes do polinômio por c_{0}=1, c_{1}=3, c_{2}=3, c_{3}=1, o coeficiente a_{n} de h^{n} na série de f é
a_{n}=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{\min(3,n)} c_{k}\,(n-k+1)\,2^{-(n-k)}.
Aqui a soma só vai até \min(3,n) porque o polinômio tem grau 3. Em termos combinatórios c_{k}=\binom{3}{k}, então podemos escrever de forma equivalente
a_{n}=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{\min(3,n)} \binom{3}{k}\,(n-k+1)\,2^{-(n-k)}.
Portanto a série de potências centrada em x_{0}=1 é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,(x-1)^{n},
com a_{n} dado acima.

Passo 7

Para ficar mais concreto, calculo os primeiros coeficientes a_{n} usando a fórmula:
\begin{aligned} a_{0}&=\tfrac{1}{4}\cdot 1= \tfrac{1}{4},\\[4pt] a_{1}&=\tfrac{1}{4}\bigl(1\cdot 2\cdot\tfrac{1}{2} + 3\cdot 1\bigr)=1,\\[4pt] a_{2}&=\tfrac{1}{4}\bigl(1\cdot 3\cdot\tfrac{1}{4} + 3\cdot 2\cdot\tfrac{1}{2} + 3\cdot 1\bigr)=\tfrac{27}{16},\\[4pt] a_{3}&=\tfrac{1}{4}\bigl(1\cdot 4\cdot\tfrac{1}{8} + 3\cdot 3\cdot\tfrac{1}{4} + 3\cdot 2\cdot\tfrac{1}{2} + 1\cdot 1\bigr)=\tfrac{27}{16}. \end{aligned}
Então os primeiros termos da série são
f(x)=\tfrac{1}{4}+1\,(x-1)+\tfrac{27}{16}(x-1)^{2}+\tfrac{27}{16}(x-1)^{3}+\cdots.]

Passo 8

Raio de convergência: a série de \bigl(1-\tfrac{h}{2}\bigr)^{-2} converge para \bigl|\tfrac{h}{2}\bigr|<1, isto é |h|<2. Lembrando h=x-1, a condição é
|x-1|<2.
Geometricamente isso faz sentido porque f(x) tem uma singularidade na raiz do denominador x=3, que está a distância 2 do centro x_{0}=1; o raio de convergência de uma série de potências centrada em 1 é a distância até a singularidade mais próxima, que é 2.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,(x-1)^{n},\quad a_{n}=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{\min(3,n)} \binom{3}{k}\,(n-k+1)\,2^{-(n-k)}.
R=2

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