Encontre uma representação em série de potências, centrada em x_{0}, para a função e determine o raio de convergência: f(x)=\frac{x^{3}}{(x-3)^{2}} e x_{0}=1
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Encontrar uma representação em série de potências, centrada em x_{0}=1, para a função f(x)=\dfrac{x^{3}}{(x-3)^{2}}.
Determinar o raio de convergência dessa série.
Informações dadas:
A função é f(x)=\dfrac{x^{3}}{(x-3)^{2}}.
O centro da série é x_{0}=1.
Passo 2
Primeiro vamos mudar a variável para trabalhar com potências de (x-1). Definimos
h := x-1,
então
x = 1+h.
Reescrever f em termos de h facilita a expansão em potências de h, que é a mesma coisa que em potências de (x-1).
Para escrever isso como uma única série em potências de h (ou seja, em potências de x-1) fazemos a convolução dos coeficientes: o coeficiente de h^{n} é a soma dos produtos dos coeficientes do polinômio com os coeficientes da série deslocados.
Passo 6
Chamando os coeficientes do polinômio por c_{0}=1, c_{1}=3, c_{2}=3, c_{3}=1, o coeficiente a_{n} de h^{n} na série de f é
Aqui a soma só vai até \min(3,n) porque o polinômio tem grau 3. Em termos combinatórios c_{k}=\binom{3}{k}, então podemos escrever de forma equivalente
Raio de convergência: a série de \bigl(1-\tfrac{h}{2}\bigr)^{-2} converge para \bigl|\tfrac{h}{2}\bigr|<1, isto é |h|<2. Lembrando h=x-1, a condição é
|x-1|<2.
Geometricamente isso faz sentido porque f(x) tem uma singularidade na raiz do denominador x=3, que está a distância 2 do centro x_{0}=1; o raio de convergência de uma série de potências centrada em 1 é a distância até a singularidade mais próxima, que é 2.