Derive as funções abaixo:
d.
d.
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
Informações relevantes dadas:
- A função é um quociente entre
(numerador) e (denominador). - Precisa-se encontrar
, a derivada de em pontos onde a função e a derivada existem (ou seja, onde o denominador não é zero).
Passo 2
Que método vamos usar: como
é um quociente
com
e
diferenciáveis, o caminho direto é aplicar a regra do quociente. A regra do quociente diz, para funções
e
diferenciáveis com
,
Aqui vou identificar explicitamente
e
e calcular
e
para depois aplicar essa fórmula.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das partes simples usando regras básicas:
- Regra da soma:
. - Regra do poder:
. - Derivadas trigonométricas:
e . - Derivada de constante vezes função:
.
Identificando:
Aplicando as regras:
Passo 4
Reescrevendo a regra do quociente com nossos
:
Substituindo
calculados:
Agora vamos simplificar o numerador passo a passo.
Passo 5
Expandindo cuidadosamente o primeiro produto do numerador:
Note que
se cancelam, ficando
Passo 6
Expandindo o segundo produto (atenção ao sinal de menos que aparece na regra do quociente):
Como no numerador temos a diferença entre o primeiro produto e esse segundo, fazemos
Agrupando termos semelhantes:
e usando
, obtemos
Podemos reorganizar para ficar mais legível:
Passo 7
Portanto a derivada simplificada é
válida para pontos
tais que
(pois nesses pontos a função original não está definida e o denominador da derivada seria zero). Pequeno lembrete:
aqui é o seno e
o cosseno; ambas as funções trigonométricas são diferenciáveis para todo
, então a única restrição vem do denominador.