Derive as funções abaixo:
d. k(x)=\frac{x^{2}+\operatorname{sen}(x)}{\cos (x)-2 x}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
k(x)=\frac{x^{2}+\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)-2x}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é um quociente entre u(x)=x^{2}+\operatorname{sen}(x) (numerador) e v(x)=\cos(x)-2x (denominador).
  • Precisa-se encontrar k'(x), a derivada de k em pontos onde a função e a derivada existem (ou seja, onde o denominador não é zero).

Passo 2

Que método vamos usar: como k é um quociente u/v com u e v diferenciáveis, o caminho direto é aplicar a regra do quociente. A regra do quociente diz, para funções u(x) e v(x) diferenciáveis com v(x)\neq0,
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui vou identificar explicitamente u e v e calcular u' e v' para depois aplicar essa fórmula.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das partes simples usando regras básicas:
  • Regra da soma: (f+g)'=f'+g'.
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • Derivadas trigonométricas: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x) e \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
  • Derivada de constante vezes função: \dfrac{d}{dx}(c\cdot f(x))=c\cdot f'(x).
Identificando:
u(x)=x^{2}+\operatorname{sen}(x),\qquad v(x)=\cos(x)-2x.
Aplicando as regras:
u'(x)=\frac{d}{dx}x^{2}+\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=2x+\cos(x),
v'(x)=\frac{d}{dx}\cos(x)-\frac{d}{dx}(2x)=-\sin(x)-2.

Passo 4

Reescrevendo a regra do quociente com nossos u,u',v,v':
k'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.
Substituindo u,u',v,v' calculados:
k'(x)=\frac{\bigl(2x+\cos(x)\bigr)\bigl(\cos(x)-2x\bigr)-\bigl(x^{2}+\operatorname{sen}(x)\bigr)\bigl(-\sin(x)-2\bigr)}{\bigl(\cos(x)-2x\bigr)^{2}}.
Agora vamos simplificar o numerador passo a passo.

Passo 5

Expandindo cuidadosamente o primeiro produto do numerador:
(2x+\cos x)(\cos x-2x)=2x\cos x-4x^{2}+\cos^{2}x-2x\cos x.
Note que 2x\cos x-2x\cos x se cancelam, ficando
(2x+\cos x)(\cos x-2x)=\cos^{2}x-4x^{2}.

Passo 6

Expandindo o segundo produto (atenção ao sinal de menos que aparece na regra do quociente):
(x^{2}+\operatorname{sen}x)(- \sin x -2)=-x^{2}\sin x-2x^{2}-\sin^{2}x-2\sin x.
Como no numerador temos a diferença entre o primeiro produto e esse segundo, fazemos
\begin{aligned} \text{numerador} &=(\cos^{2}x-4x^{2})-\bigl(-x^{2}\sin x-2x^{2}-\sin^{2}x-2\sin x\bigr)\\[4pt] &=\cos^{2}x-4x^{2}+x^{2}\sin x+2x^{2}+\sin^{2}x+2\sin x. \end{aligned}
Agrupando termos semelhantes: -4x^{2}+2x^{2}=-2x^{2} e usando \cos^{2}x+\sin^{2}x=1, obtemos
\text{numerador}=1-2x^{2}+x^{2}\sin x+2\sin x.
Podemos reorganizar para ficar mais legível:
\text{numerador}=1+2\operatorname{sen}x+x^{2}(\operatorname{sen}x-2).]

Passo 7

Portanto a derivada simplificada é
k'(x)=\frac{1+2\operatorname{sen}x+x^{2}(\operatorname{sen}x-2)}{\bigl(\cos x-2x\bigr)^{2}},
válida para pontos x tais que \cos x-2x\neq0 (pois nesses pontos a função original não está definida e o denominador da derivada seria zero). Pequeno lembrete: \operatorname{sen} aqui é o seno e \cos o cosseno; ambas as funções trigonométricas são diferenciáveis para todo x, então a única restrição vem do denominador.

Resposta

k'(x)=\frac{1+2\operatorname{sen}x+x^{2}(\operatorname{sen}x-2)}{\bigl(\cos x-2x\bigr)^{2}}

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