Explicação curta de por que isso vale: os somatórios parciais são
S_N = 1+r+\cdots+r^N=\frac{1-r^{N+1}}{1-r},
e quando |r|<1 tem-se r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty, dando S_N\to\dfrac{1}{1-r}.
Passo 3
Observe que a nossa função pode ser escrita como uma forma adequada para usar a série geométrica:
\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}.
Aqui podemos identificar r=-x. Aplicando a fórmula da série geométrica com r=-x (desde que |-x|<1, isto é, |x|<1), obtemos a expansão em série de potências centrada em 0:
Agora justifico a condição de convergência com um teste padrão (teste da razão) para séries de potências. Tome os coeficientes da série a_n = (-1)^n x^n. O teste da razão diz que se
ou seja, 1+1+1+\cdots, que claramente diverge. Logo diverge em x=-1.
Portanto os extremos não pertencem ao conjunto de convergência.
Passo 6
Conclusão consolidada: a série de potências centrada em 0 para f(x)=\dfrac{1}{1+x} é \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n e ela converge exatamente para |x|<1, isto é, no intervalo aberto (-1,1).