Encontre uma representação em série de potências centradas em 0 para as funções e determine o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{1}{1+x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x)=\dfrac{1}{1+x}:
  • Encontrar uma representação por série de potências centrada em 0 (ou seja, uma série da forma \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n).
  • Determinar o intervalo de convergência dessa série.
Informações dadas: a função f(x) está explicitamente definida por \dfrac{1}{1+x}. Não há outra informação adicional.

Passo 2

Vamos lembrar um fato muito útil: a série geométrica. A série geométrica é
\sum_{n=0}^{\infty} r^n = 1 + r + r^2 + r^3 + \cdots
e ela converge exatamente quando |r|<1. Nesse caso o valor da soma é
\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}\qquad\text{(para \(|r|<1\)).}
Explicação curta de por que isso vale: os somatórios parciais são
S_N = 1+r+\cdots+r^N=\frac{1-r^{N+1}}{1-r},
e quando |r|<1 tem-se r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty, dando S_N\to\dfrac{1}{1-r}.

Passo 3

Observe que a nossa função pode ser escrita como uma forma adequada para usar a série geométrica:
\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}.
Aqui podemos identificar r=-x. Aplicando a fórmula da série geométrica com r=-x (desde que |-x|<1, isto é, |x|<1), obtemos a expansão em série de potências centrada em 0:
\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n.
Escrevendo os primeiros termos fica mais claro:
\frac{1}{1+x}=1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - \cdots\quad\text{(para \(|x|<1\)).}

Passo 4

Agora justifico a condição de convergência com um teste padrão (teste da razão) para séries de potências. Tome os coeficientes da série a_n = (-1)^n x^n. O teste da razão diz que se
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1
então a série converge. Aqui
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1} x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|.
Esse limite é simplesmente |x|. Portanto a série converge sempre que |x|<1. Isso confirma que o raio de convergência é R=1.

Passo 5

Faltam testar os pontos extremos x=1 e x=-1 para saber o intervalo exato de convergência.
  • Se x=1, a série torna-se
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n,
cuja sequência de somas parciais é 1,\,0,\,1,\,0,\dots, que não converge (os termos não tendem a zero e os somatórios oscilam). Logo diverge em x=1.
  • Se x=-1, a série torna-se
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(-1)^n=\sum_{n=0}^{\infty}1,
ou seja, 1+1+1+\cdots, que claramente diverge. Logo diverge em x=-1.
Portanto os extremos não pertencem ao conjunto de convergência.

Passo 6

Conclusão consolidada: a série de potências centrada em 0 para f(x)=\dfrac{1}{1+x} é \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n e ela converge exatamente para |x|<1, isto é, no intervalo aberto (-1,1).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=1-x+x^2-x^3+\cdots
(-1,1)

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