Determine L para que a função dada seja contínua no ponto p. Justifique.
f(x)=\left\{\begin{array}{rr}2 L+x & \text { se } x \geq 1 \\\\ 3 L-x^{2}, & \text { se } x<1\end{array}, \quad p=1\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} 2L+x & \text{se } x\ge 1,\\[4pt] 3L-x^{2} & \text{se } x<1, \end{cases}
e o ponto p=1.
O que se pede: determinar o(s) valor(es) de L para que f seja contínua em p=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x\ge 1 a expressão é 2L+x.
  • Para x<1 a expressão é 3L-x^{2}.
  • O ponto em que queremos continuidade é p=1.]

Passo 2

Definição útil (explicada): dizer que f é contínua em p=1 significa, por definição,
\lim_{x\to 1} f(x)=f(1).
Para funções definidas por partes é equivalente exigir que os limites laterais existam e sejam iguais entre si e ao valor no ponto; isto é, devemos ter simultaneamente
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^+} f(x)=f(1).
Aqui a ideia é: aproximando x de 1 pela esquerda (valores menores que 1) e pela direita (valores maiores ou iguais a 1), as imagens devem tender ao mesmo número e esse número deve ser exatamente f(1).

Passo 3

Calcular o limite pela direita \lim_{x\to 1^+} f(x).
Para x\ge 1 a função é a expressão linear 2L+x. Funções lineares são contínuas, portanto o limite quando x\to 1^+ é obtido substituindo x=1:
\lim_{x\to 1^+} f(x)=2L+1.

Passo 4

Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to 1^-} f(x).
Para x<1 a função é 3L-x^{2}. Essa é uma função polinomial em x (para cada L fixo), também contínua, então ao aproximar x por valores menores que 1 o valor tende ao valor em x=1:
\lim_{x\to 1^-} f(x)=3L-1.

Passo 5

Calcular f(1). Como 1 pertence à região x\ge 1, usa-se a primeira expressão:
f(1)=2L+1.

Passo 6

Impor a condição de continuidade: os limites laterais devem ser iguais e igual a f(1). Já vimos que \lim_{x\to 1^+} f(x)=2L+1 e \lim_{x\to 1^-} f(x)=3L-1. Portanto exigimos
3L-1=2L+1.
Resolver a equação:
3L-1=2L+1 \quad\Longrightarrow\quad 3L-2L=1+1 \quad\Longrightarrow\quad L=2.

Passo 7

Verificação rápida: para L=2 temos \lim_{x\to 1^+} f(x)=2\cdot2+1=5 e \lim_{x\to 1^-} f(x)=3\cdot2-1=5, e f(1)=5. Assim os limites laterais coincidem e igualam f(1), logo f é contínua em 1 quando L=2. Se L\neq 2 os limites laterais são diferentes e há descontinuidade.

Resposta

L=2

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