Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. (Dica: use a série geométrica). f(x) = x / (1 + x)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar a série geométrica, que é uma ferramenta poderosa em análise de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se pareça com a fórmula da série geométrica. A série geométrica tem a forma , onde para convergir. Podemos manipular para que se encaixe nesse formato.

Passo 3

Observamos que:
Aqui, identificamos que . Agora, podemos expressar como uma série geométrica:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por para obter :
Podemos reindexar a soma para facilitar a visualização:

Passo 5

Agora, determinamos o intervalo de convergência da série. Sabemos que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então:

Resposta

A representação em série de potências para a função é:
E o intervalo de convergência da série é .

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