Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. (Dica: use a série geométrica).
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos uma representação em série de potências para a função
e determinar o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar a série geométrica, que é uma ferramenta poderosa em análise de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se pareça com a fórmula da série geométrica. A série geométrica tem a forma
, onde
para convergir. Podemos manipular
para que se encaixe nesse formato.
Passo 3
Observamos que:
Aqui, identificamos que
. Agora, podemos expressar
como uma série geométrica:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para obter
:
Podemos reindexar a soma para facilitar a visualização:
Passo 5
Agora, determinamos o intervalo de convergência da série. Sabemos que a série geométrica converge quando
. No nosso caso,
, então:
Resposta
A representação em série de potências para a função
é:
E o intervalo de convergência da série é
.