Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. (Dica: use a série geométrica). f(x) = x^2 / (x^4 + 16)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar uma série de potências que represente a função e também determinar para quais valores de essa série converge. Para resolver isso, vamos usar a série geométrica, que é uma ferramenta poderosa para representar funções como somas infinitas de termos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se pareça mais com a fórmula da série geométrica. A série geométrica tem a forma , onde é algum termo que depende de . Então, nosso objetivo é manipular para se encaixar nessa estrutura.

Passo 3

Observando , percebemos que podemos fatorar o denominador para facilitar a manipulação. Reescrevendo o denominador:
Assim, a função fica:

Passo 4

Agora, observamos que a expressão pode ser escrita como . Isso se encaixa perfeitamente na fórmula da série geométrica , onde .

Passo 5

Aplicando a série geométrica, sabemos que:
Substituindo por :

Passo 6

Portanto, a função pode ser representada como:

Passo 7

Agora, precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para a série geométrica convergir, a razão deve ser menor que 1:

Resposta

A representação em série de potências para a função é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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