Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. (Dica: use a série geométrica).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar uma série de potências que represente a função e também determinar para quais valores de essa série converge. Para resolver isso, vamos usar a série geométrica, que é uma ferramenta poderosa para representar funções como somas infinitas de termos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se pareça mais com a fórmula da série geométrica. A série geométrica tem a forma , onde é algum termo que depende de . Então, nosso objetivo é manipular para se encaixar nessa estrutura.
Passo 3
Observando , percebemos que podemos fatorar o denominador para facilitar a manipulação. Reescrevendo o denominador:
Assim, a função fica:
Passo 4
Agora, observamos que a expressão pode ser escrita como . Isso se encaixa perfeitamente na fórmula da série geométrica , onde .
Passo 5
Aplicando a série geométrica, sabemos que:
Substituindo por :
Passo 6
Portanto, a função pode ser representada como:
Passo 7
Agora, precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para a série geométrica convergir, a razão deve ser menor que 1:
Resposta
A representação em série de potências para a função é: