Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x) = x / (1 - x^3)

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para encontrar uma representação em série de potências para a função e também determinar o intervalo onde essa série converge. Isso envolve conceitos de séries de potências e série geométrica. Vamos precisar reescrever a função de forma que possamos aplicar a fórmula de uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. A fórmula básica é:
Essa série converge quando o valor absoluto de é menor que 1, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos manipular a função para encaixar na fórmula da série geométrica. Observe que:
Aqui, podemos identificar . Então, aplicando a série geométrica:
Multiplicando por :
Então, a representação em série de potências para é:

Passo 4

Para encontrar o intervalo de convergência, vamos lembrar que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então:
Portanto, a série converge para todos os valores de tais que .

Resposta

A representação em série de potências para a função é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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