Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma representação de série de potências para a função
e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar conhecer séries geométricas e como manipular derivadas de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série geométrica básica. Sabemos que:
Nossa função possui um denominador parecido com
, então vamos adaptar essa fórmula. Podemos reescrever
como:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma série para
. Sabemos que:
Mas para facilitar, podemos ajustar os índices da soma:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então, temos:
Passo 4
Agora, multiplicamos a série encontrada por 2 para obter a representação de
:
Podemos simplificar o sinal:
Passo 5
Para encontrar o raio de convergência, observamos que a série geométrica original
converge para
. Como derivamos a série e multiplicamos por polinômios de
, o critério de convergência permanece o mesmo. Portanto, o raio de convergência é 1.
Resposta
A representação por série de potências de
é:
O raio de convergência dessa série é
.