Utilize a representação da série geométrica para obter uma representação em séries de potências para as seguintes funções. Determine o raio de convergência.
f(x) = (x - 1) / (x + 1).

Passo 1

Beleza! A questão pede para a gente usar a representação da série geométrica para encontrar uma série de potências para a função . Além disso, precisamos determinar o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma série geométrica e como transformar uma função em uma série de potências usando essa ideia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da série geométrica. Podemos começar dividindo o numerador pelo denominador:

Passo 3

Agora, observamos que temos uma fração . Para usar a série geométrica, queremos que isso se pareça com , onde é algo envolvendo . Vamos manipular a expressão:

Passo 4

Agora, reconhecemos que é a fórmula da série geométrica, que pode ser expandida como:
Essa série converge quando , ou seja, .

Passo 5

Voltando à nossa expressão para :
Podemos simplificar isso escrevendo a série completa:

Resposta

A representação em série de potências para é:
O raio de convergência dessa série é .

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