Encontre a resposta
para cada sistema LTI a seguir. Determine se o sistema é BIBO estável/instável.
Se
é a resposta ao impulso, encontre a saída
considerando a entrada
.
Se
Passo 1
O enunciado dá explicitamente a resposta ao impulso e a entrada (peguei estes sinais do enunciado) e pede duas coisas:
- Encontrar a saída
quando a resposta ao impulso é e a entrada é . - Determinar se o sistema é BIBO estável ou BIBO instável.
Informações relevantes dadas:
-
é diferente de zero apenas em com valores , , . -
é diferente de zero apenas em com valores , , .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (a explicação “mastigada”):
- Para um sistema LTI discreto, a saída
é a convolução entre e . - A definição de convolução discreta é
Explicando essa fórmula bem devagar: para cada
fixo, somamos os produtos
para todos os
. Na prática, como
e
são zero fora de pequenos conjuntos, a soma tem poucos termos.
Passo 3
Redução prática da soma usando suportes finitos:
- Como
somente para , a soma reduz para
- Além disso,
somente para . Assim só pode ser não nulo quando estiver em para algum . - Isso implica que
será diferente de zero apenas para entre e (soma dos maiores índices: ). Portanto basta calcular para .
Passo 4
Cálculo de
. Usando a fórmula reduzida:
Como
para
, apenas o termo
contribui:
(Interpretação: a saída em
é apenas
vezes a entrada em
).
Passo 5
Cálculo de
:
Mas
, então
Passo 6
Cálculo de
:
Substituindo os valores:
Passo 7
Cálculo de
:
Aqui
, então
Passo 8
Cálculo de
:
Como
, só sobra
Passo 9
Construção da expressão final de
como soma de deltas:
- Encontramos que
é não nulo apenas para com valores . - Escrevendo com deltas:
(Isto é conveniente na prova: mostra explicitamente os coeficientes em cada atraso.)
Passo 10
Critério de estabilidade BIBO e verificação (explicação didática):
- Para um sistema LTI discreto, o critério BIBO é: o sistema é BIBO estável se, e somente se,
Isto significa que a soma absoluta dos valores da resposta ao impulso deve convergir (ser finita). Intuição: uma entrada limitada passada pelo sistema não pode explodir se os “pesos” do impulso somarem um valor finito.
- No nosso caso
é finito e não nulo só em três pontos; calculamos a soma:
que é finita. Logo o sistema é BIBO estável.
- Observação prática útil para prova: todo sistema com resposta ao impulso de duração finita (FIR) é automaticamente BIBO estável, porque a soma tem um número finito de termos.
Resposta
BIBO estável