Encontre a resposta y(t) para cada sistema LTI a seguir. Determine se o sistema é BIBO estável/instável.
Se h(n)=2 \delta(n)+3 \delta(n-1)+\delta(n-2) é a resposta ao impulso, encontre a saída y(n) considerando a entrada x(n)=\delta(n)+3 \delta(n-1)+2 \delta(n-2).

Passo 1

O enunciado dá explicitamente a resposta ao impulso e a entrada (peguei estes sinais do enunciado) e pede duas coisas:
  • Encontrar a saída y(n) quando a resposta ao impulso é \;h(n)=2\delta(n)+3\delta(n-1)+\delta(n-2)\; e a entrada é \;x(n)=\delta(n)+3\delta(n-1)+2\delta(n-2)\;.
  • Determinar se o sistema é BIBO estável ou BIBO instável.
Informações relevantes dadas:
  • \;h(n)\; é diferente de zero apenas em n=0,1,2 com valores h(0)=2, h(1)=3, h(2)=1.
  • \;x(n)\; é diferente de zero apenas em n=0,1,2 com valores x(0)=1, x(1)=3, x(2)=2.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (a explicação “mastigada”):
  • Para um sistema LTI discreto, a saída y(n) é a convolução entre h(n) e x(n).
  • A definição de convolução discreta é
y(n)=(h*x)(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k)\,x(n-k).
Explicando essa fórmula bem devagar: para cada n fixo, somamos os produtos h(k)\cdot x(n-k) para todos os k. Na prática, como h(k) e x(k) são zero fora de pequenos conjuntos, a soma tem poucos termos.

Passo 3

Redução prática da soma usando suportes finitos:
  • Como h(k)\neq 0 somente para k\in\{0,1,2\}, a soma reduz para
y(n)=\sum_{k=0}^{2} h(k)\,x(n-k).
  • Além disso, x(m)\neq 0 somente para m\in\{0,1,2\}. Assim y(n) só pode ser não nulo quando (n-k) estiver em \{0,1,2\} para algum k\in\{0,1,2\}.
  • Isso implica que y(n) será diferente de zero apenas para n entre 0 e 4 (soma dos maiores índices: 2+2=4). Portanto basta calcular y(n) para n=0,1,2,3,4.

Passo 4

Cálculo de y(0). Usando a fórmula reduzida:
y(0)=\sum_{k=0}^{2} h(k)\,x(0-k).
Como x(m)=0 para m<0, apenas o termo k=0 contribui:
y(0)=h(0)\,x(0)=2\cdot 1=2.
(Interpretação: a saída em n=0 é apenas h(0) vezes a entrada em 0).

Passo 5

Cálculo de y(1):
y(1)=\sum_{k=0}^{2} h(k)\,x(1-k)=h(0)x(1)+h(1)x(0)+h(2)x(-1).
Mas x(-1)=0, então
y(1)=h(0)x(1)+h(1)x(0)=2\cdot 3 + 3\cdot 1 =6+3=9.

Passo 6

Cálculo de y(2):
y(2)=\sum_{k=0}^{2} h(k)\,x(2-k)=h(0)x(2)+h(1)x(1)+h(2)x(0).
Substituindo os valores:
y(2)=2\cdot 2 + 3\cdot 3 + 1\cdot 1 =4 + 9 + 1 =14.

Passo 7

Cálculo de y(3):
y(3)=\sum_{k=0}^{2} h(k)\,x(3-k)=h(0)x(3)+h(1)x(2)+h(2)x(1).
Aqui x(3)=0, então
y(3)=h(1)x(2)+h(2)x(1)=3\cdot 2 + 1\cdot 3 =6+3=9.

Passo 8

Cálculo de y(4):
y(4)=\sum_{k=0}^{2} h(k)\,x(4-k)=h(0)x(4)+h(1)x(3)+h(2)x(2).
Como x(3)=x(4)=0, só sobra
y(4)=h(2)x(2)=1\cdot 2=2.

Passo 9

Construção da expressão final de y(n) como soma de deltas:
  • Encontramos que y(n) é não nulo apenas para n=0,1,2,3,4 com valores 2,9,14,9,2.
  • Escrevendo com deltas:
y(n)=2\delta(n)+9\delta(n-1)+14\delta(n-2)+9\delta(n-3)+2\delta(n-4).
(Isto é conveniente na prova: mostra explicitamente os coeficientes em cada atraso.)

Passo 10

Critério de estabilidade BIBO e verificação (explicação didática):
  • Para um sistema LTI discreto, o critério BIBO é: o sistema é BIBO estável se, e somente se,
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h(n)| < \infty.
Isto significa que a soma absoluta dos valores da resposta ao impulso deve convergir (ser finita). Intuição: uma entrada limitada passada pelo sistema não pode explodir se os “pesos” do impulso somarem um valor finito.
  • No nosso caso h(n) é finito e não nulo só em três pontos; calculamos a soma:
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h(n)| = |2|+|3|+|1| = 2+3+1 = 6,
que é finita. Logo o sistema é BIBO estável.
  • Observação prática útil para prova: todo sistema com resposta ao impulso de duração finita (FIR) é automaticamente BIBO estável, porque a soma tem um número finito de termos.

Resposta

y(n)=2\delta(n)+9\delta(n-1)+14\delta(n-2)+9\delta(n-3)+2\delta(n-4)
BIBO estável

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