Encontre a reta interseção de cada par de planos dados.
4 x+y+z=0 e 2 x-y+3 z=2

Passo 1

O enunciado nos dá dois planos 4x + y + z = 0
e 2x - y + 3z = 2
e pede a reta que é a interseção desses planos. Em geometria analítica, a interseção de dois planos não paralelos é uma reta cujo vetor diretor é o produto vetorial dos vetores normais dos planos, e basta achar também um ponto comum a ambos.

Passo 2

Identificamos os vetores normais dos planos: \mathbf{n}_1 = (4,1,1) e \mathbf{n}_2 = (2,-1,3).
O vetor diretor da reta é
\mathbf{d} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 4 & 1 & 1\\\\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = (-2,\,5,\,3).

Passo 3

Para achar um ponto P que satisfaça ambos os planos, escolhemos z=0 e resolvemos
4x + y = 0,\quad 2x - y = 2.
Somando as duas equações:
6x = 2\implies x = \tfrac13,
e daí
y = -4x = -\tfrac{4}{3}.
Logo um ponto na reta é \displaystyle P\bigl(\tfrac13,\,-\tfrac{4}{3},\,0\bigr).

Passo 4

A equação vetorial da reta, com parâmetro \lambda, fica
\mathbf{r}(\lambda) = \underbrace{\bigl(\tfrac13,\,-\tfrac{4}{3},\,0\bigr)}_{\mathbf{r}_0} + \lambda\,\underbrace{(-2,\,5,\,3)}_{\mathbf{d}}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(\lambda)=\bigl(\tfrac13,\,-\tfrac{4}{3},\,0\bigr)+\lambda(-2,5,3).

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