Encontre a reta tangente de
em
.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede a reta tangente em
. Dados fornecidos:
-
. -
.
O que é pedido explicitamente:
- Encontrar a reta tangente à curva
no ponto .
Passo 2
Conceito usado (explicado passo a passo): a reta tangente a uma curva paramétrica em um ponto é a reta que passa por esse ponto e tem direção dada pela derivada da curva naquele parâmetro.
- A derivada
é o vetor velocidade, isto é, a derivada componente a componente de . - Se
, então
- A reta tangente em
pode ser escrita em forma vetorial ponto-direção:
onde
é o parâmetro da reta. Esse
é diferente do parâmetro
da curva (só uma convenção para não confundir).
Passo 3
Calcular a derivada componente a componente de
.
- Para a primeira componente
:
- Para a segunda componente
:
- Para a terceira componente
:
Portanto
Passo 4
Avaliar
e
em
.
- Ponto da curva:
- Vetor direção (derivada):
Passo 5
Escrever a reta tangente usando o ponto
e a direção
.
- Forma vetorial (ponto-direção):
- Expandindo em coordenadas paramétricas:
- Se quiser eliminar o parâmetro
: da segunda e terceira coordenadas tem e , então . Juntando com obtemos a forma cartesiana:
Resposta
ou, equivalentemente,