Encontre a reta tangente de α em α\left(t_{0}\right).
α(t)=(2 \cos t, 2 \operatorname{sen} t, t), t_{0}=0 ;

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \alpha e pede a reta tangente em \alpha\left(t_{0}\right). Dados fornecidos:
  • \alpha(t) = \bigl(2\cos t,\;2\sin t,\;t\bigr).
  • t_{0}=0.
O que é pedido explicitamente:
  • Encontrar a reta tangente à curva \alpha no ponto \alpha(0).

Passo 2

Conceito usado (explicado passo a passo): a reta tangente a uma curva paramétrica em um ponto é a reta que passa por esse ponto e tem direção dada pela derivada da curva naquele parâmetro.
  • A derivada \alpha'(t) é o vetor velocidade, isto é, a derivada componente a componente de \alpha(t).
  • Se \alpha(t)=(x(t),y(t),z(t)), então
\alpha'(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\bigr).
  • A reta tangente em t_0 pode ser escrita em forma vetorial ponto-direção:
\ell(u)=\alpha(t_0)+u\,\alpha'(t_0),
onde u é o parâmetro da reta. Esse u é diferente do parâmetro t da curva (só uma convenção para não confundir).

Passo 3

Calcular a derivada componente a componente de \alpha(t).
  • Para a primeira componente x(t)=2\cos t:
x'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(2\cos t\bigr) = -2\sin t.
  • Para a segunda componente y(t)=2\sin t:
y'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(2\sin t\bigr) = 2\cos t.
  • Para a terceira componente z(t)=t:
z'(t) = \frac{d}{dt}(t) = 1.
Portanto
\alpha'(t)=\bigl(-2\sin t,\;2\cos t,\;1\bigr).

Passo 4

Avaliar \alpha e \alpha' em t_{0}=0.
  • Ponto da curva:
\alpha(0)=\bigl(2\cos 0,\;2\sin 0,\;0\bigr)=\bigl(2,\;0,\;0\bigr).
  • Vetor direção (derivada):
\alpha'(0)=\bigl(-2\sin 0,\;2\cos 0,\;1\bigr)=\bigl(0,\;2,\;1\bigr).

Passo 5

Escrever a reta tangente usando o ponto \alpha(0) e a direção \alpha'(0).
  • Forma vetorial (ponto-direção):
\ell(u)=\bigl(2,0,0\bigr)+u\bigl(0,2,1\bigr).
  • Expandindo em coordenadas paramétricas:
\ell(u)=\bigl(2,\;2u,\;u\bigr).
  • Se quiser eliminar o parâmetro u: da segunda e terceira coordenadas tem u=z e y=2u, então y=2z. Juntando com x=2 obtemos a forma cartesiana:
x=2,\qquad y=2z.

Resposta

\ell(u)=\bigl(2,0,0\bigr)+u\bigl(0,2,1\bigr)=\bigl(2,\,2u,\,u\bigr)
ou, equivalentemente, \;x=2,\;y=2z.

Exercícios relacionados