Ache os pontos em que a curva parametrizada
, intercepta o plano dado por
.
Passo 1
O enunciado fornece uma curva parametrizada e um plano, e pede os pontos de interseção entre eles.
- Curva parametrizada:
, com . - Plano:
.
O que é pedido: determinar todos os valores de
tais que o ponto
pertence ao plano e, a partir desses
, obter as coordenadas dos pontos de interseção.
Passo 2
Ideia do método (passo a passo didático, como fazer na prova):
- Um ponto
está no plano se, ao substituir as coordenadas dadas por na equação do plano, a igualdade é satisfeita. - Portanto substituímos
, , em e obtemos uma equação em . - Depois resolvemos essa equação em
. Cada solução dá um parâmetro que gera um ponto de interseção; então calculamos para essas soluções.
Passo 3
Substituição direta na equação do plano. Vou calcular expressão por expressão e manter tudo bem claro.
Substituindo
,
,
em
dá:
Agora faço as multiplicações e somas:
Somando tudo:
Portanto
Passo 4
Impondo que isso seja igual a
(já que o plano é
), obtemos a equação em
:
Passo a passo para simplificar:
Dividindo ambos os lados por
(para simplificar):
Passo 5
Resolver a equação quadrática
.
Tento fatorar: procuro dois números cuja soma é
e produto é
. Esses números são
e
, pois
e
. Logo:
Portanto as raízes são
Passo 6
Calcular os pontos
para
e
.
-
Para
: -
Para
:
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
- Para
: — satisfaz o plano. - Para
: — também satisfaz.
Ambos são pontos de interseção válidos.