Ache os pontos em que a curva parametrizada \alpha(t)=\left(2 t^{2}, 1-t, 3+t^{2}\right), t \in \mathbb{R}, intercepta o plano dado por 3 x-14 y+z=10.

Passo 1

O enunciado fornece uma curva parametrizada e um plano, e pede os pontos de interseção entre eles.
  • Curva parametrizada: \alpha(t)=\bigl(2t^{2},\,1-t,\,3+t^{2}\bigr), com t\in\mathbb{R}.
  • Plano: 3x-14y+z=10.
O que é pedido: determinar todos os valores de t tais que o ponto \alpha(t) pertence ao plano e, a partir desses t, obter as coordenadas dos pontos de interseção.

Passo 2

Ideia do método (passo a passo didático, como fazer na prova):
  • Um ponto \alpha(t) está no plano se, ao substituir as coordenadas x,y,z dadas por \alpha(t) na equação do plano, a igualdade é satisfeita.
  • Portanto substituímos x=2t^{2}, y=1-t, z=3+t^{2} em 3x-14y+z=10 e obtemos uma equação em t.
  • Depois resolvemos essa equação em t. Cada solução dá um parâmetro t que gera um ponto de interseção; então calculamos \alpha(t) para essas soluções.

Passo 3

Substituição direta na equação do plano. Vou calcular expressão por expressão e manter tudo bem claro.
Substituindo x=2t^{2}, y=1-t, z=3+t^{2} em 3x-14y+z dá:
3(2t^{2}) -14(1-t) + (3+t^{2}).
Agora faço as multiplicações e somas:
3(2t^{2}) = 6t^{2},\qquad -14(1-t) = -14 +14t.
Somando tudo:
6t^{2} + (-14 +14t) + 3 + t^{2} = 6t^{2}+t^{2}+14t-14+3.
Portanto
3x-14y+z = 7t^{2}+14t-11.

Passo 4

Impondo que isso seja igual a 10 (já que o plano é 3x-14y+z=10), obtemos a equação em t:
7t^{2}+14t-11=10.
Passo a passo para simplificar:
7t^{2}+14t-11-10=0,
7t^{2}+14t-21=0.
Dividindo ambos os lados por 7 (para simplificar):
t^{2}+2t-3=0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática \;t^{2}+2t-3=0\;.
Tento fatorar: procuro dois números cuja soma é 2 e produto é -3. Esses números são 3 e -1, pois 3+(-1)=2 e 3\cdot(-1)=-3. Logo:
t^{2}+2t-3=(t+3)(t-1).
Portanto as raízes são
t+3=0\Rightarrow t=-3,\qquad t-1=0\Rightarrow t=1.

Passo 6

Calcular os pontos \alpha(t) para t=1 e t=-3.
  • Para t=1:
    \alpha(1)=\bigl(2\cdot1^{2},\,1-1,\,3+1^{2}\bigr)=\bigl(2,\,0,\,4\bigr).
  • Para t=-3:
    \alpha(-3)=\bigl(2\cdot(-3)^{2},\,1-(-3),\,3+(-3)^{2}\bigr)=\bigl(2\cdot9,\,4,\,3+9\bigr)=\bigl(18,\,4,\,12\bigr).

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
  • Para \bigl(2,0,4\bigr): 3\cdot2-14\cdot0+4=6+0+4=10 — satisfaz o plano.
  • Para \bigl(18,4,12\bigr): 3\cdot18-14\cdot4+12=54-56+12=10 — também satisfaz.
Ambos são pontos de interseção válidos.

Resposta

(2,0,4)
(18,4,12)

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