encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula como ensinada.
x y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0 ; \quad y_{1}=\ln x

Passo 1

O enunciado pede uma segunda solução da equação diferencial de segunda ordem
x\,y'' + y' = 0
já sabendo que uma solução é y_{1}(x)=\ln x. O conteúdo aqui é redução de ordem ou uso da fórmula padrão para obter y_{2} dado y_{1}.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma normal
y'' + \frac{1}{x}\,y' = 0,
de onde identificamos
P(x)=\frac{1}{x}, \quad Q(x)=0.
A fórmula de redução de ordem diz que
y_{2}(x) = y_{1}(x)\, \int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{\bigl[y_{1}(x)\bigr]^{2}} \,dx.

Passo 3

Calculamos o fator integrante:
\int P(x)\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln x,
e^{-\int P(x)\,dx} = e^{-\ln x} = x^{-1}.

Passo 4

Substituindo na fórmula de y_{2}:
y_{2}(x) = \ln x \int \frac{x^{-1}}{(\ln x)^{2}} \,dx.
Fazendo a troca u = \ln x, du = \tfrac{dx}{x}, o integral vira
\int \frac{1}{u^{2}}\,du = -\frac{1}{u} = -\frac{1}{\ln x}.
Logo
y_{2}(x) = \ln x \Bigl(-\frac{1}{\ln x}\Bigr) = -1.
Como podemos multiplicar por constante arbitrária e desprezar o sinal, escolhemos
y_{2}(x)=1.

Resposta

A segunda solução linearmente independente é
y_{2}(x)=1.

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