encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula como ensinada.
(1+2 x) y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}-4 y=0 ; \quad y_{1}=e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache uma segunda solução de
(1+2x)\,y''+4x\,y'-4y=0
sabendo que já existe uma solução y_{1}=e^{-2x}. O conteúdo é redução de ordem para EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
y''+p(x)\,y'+q(x)\,y=0.
Dividindo por 1+2x obtemos
y''+\frac{4x}{1+2x}\,y'-\frac{4}{1+2x}\,y=0,
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p(x)=\frac{4x}{1+2x}.
Para a redução de ordem precisamos de \displaystyle e^{-\int p(x)\,dx}. Note que
\frac{4x}{1+2x}=2-\frac{2}{1+2x},
então
\int p(x)\,dx =\int\Bigl(2-\frac{2}{1+2x}\Bigr)dx =2x-\ln(1+2x).

Passo 3

Calculamos o fator
e^{-\int p(x)\,dx} =e^{-2x+\ln(1+2x)} =(1+2x)\,e^{-2x}.
A fórmula de redução de ordem diz que uma segunda solução é
y_{2}(x)=y_{1}(x)\,\int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{[y_{1}(x)]^{2}}\,dx =e^{-2x}\,\int\frac{(1+2x)e^{-2x}}{e^{-4x}}\,dx =e^{-2x}\,\int(1+2x)e^{2x}\,dx.

Passo 4

Fazemos a integral
\int(1+2x)e^{2x}\,dx.
Por partes, com u=1+2x, dv=e^{2x}dx, vem
\int(1+2x)e^{2x}\,dx =(1+2x)\,\frac{e^{2x}}{2}-\int\frac{e^{2x}}{2}\cdot2\,dx =\frac{1+2x}{2}e^{2x}-\int e^{2x}\,dx =x\,e^{2x}+C.
Desprezamos a constante, pois gera solução já contida em y_{1}.

Passo 5

Substituindo de volta em y_{2}:
y_{2}(x)=e^{-2x}\bigl(xe^{2x}\bigr)=x.
Verifique rapidamente que y=x satisfaz a equação original e é linearmente independente de e^{-2x}.

Resposta

A segunda solução é
y_{2}(x)=x.

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