encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula como ensinada.
x^{2} y^{\prime \prime}-5 x y^{\prime}+9 y=0 ; \quad y_{1}=x^{3} \ln x

Passo 1

O enunciado dá a EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis
x^{2}y''-5x\,y'+9y=0
e informa uma solução conhecida y_{1}=x^{3}\ln x.
Queremos obter uma segunda solução linearmente independente usando redução de ordem.

Passo 2

Dividimos a equação por x^{2} para colocá-la na forma padrão
y'' - \frac{5}{x}y' + \frac{9}{x^{2}}y = 0,
onde
p(x) = -\frac{5}{x}.
A fórmula de redução de ordem fornece
y_{2} = y_{1}\,\int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx.

Passo 3

Calculemos \int p(x)\,dx e o fator e^{-\int p\,dx}:
\int p(x)\,dx = \int \Bigl(-\frac{5}{x}\Bigr)\,dx = -5\ln x,
e^{-\int p(x)\,dx} = e^{5\ln x} = x^{5}.

Passo 4

Substituindo na fórmula de y_{2}:
y_{2} = x^{3}\ln x \int \frac{x^{5}}{\bigl(x^{3}\ln x\bigr)^{2}}\,dx = x^{3}\ln x \int \frac{x^{5}}{x^{6}(\ln x)^{2}}\,dx = x^{3}\ln x \int \frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx.
Fazendo a substituição u=\ln x, du=dx/x, obtemos
\int \frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\,du = -\frac{1}{u} = -\frac{1}{\ln x}.

Passo 5

Logo
y_{2} = x^{3}\ln x \Bigl(-\frac{1}{\ln x}\Bigr) = -\,x^{3}.
Como a constante multiplicativa não altera a independência linear, escolhemos
y_{2} = x^{3}.

Resposta

A segunda solução independente é
y_{2} = x^{3}.

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