Encontre a série de Fourier de 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a série de Fourier da função 
 . A série de Fourier é uma maneira de representar funções periódicas como a soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier e como aplicá-las a funções que envolvem valores absolutos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier de uma função periódica 
  com período 
  pode ser escrita como:
Onde:
- 
é o termo constante.  - 
e são os coeficientes de Fourier para os cossenos e senos, respectivamente.  
No nosso caso, 
 , que é uma função par, ou seja, ela é simétrica em relação ao eixo y. Por isso, todos os coeficientes 
  serão zero, e a série ficará apenas com os termos de cosseno.
Passo 3
Vamos determinar o período da função 
 . A função 
  tem período 
 , mas como estamos tomando o valor absoluto, o período da função 
  é metade disso, ou seja, 
 .
Então, o período 
  é 
 .
Passo 4
Agora, vamos calcular o coeficiente 
 , que representa a média da função no período. A fórmula para 
  é:
Substituindo 
  e 
 :
Vamos fazer a substituição 
 , então 
  e 
 :
Como 
  é positivo no intervalo de 
  a 
 , podemos remover o valor absoluto:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes 
 :
Substituindo 
  e 
 :
Fazendo novamente a substituição 
 , 
 :
Usando a identidade trigonométrica:
Então:
Calculando as integrais:
Aplicando isso:
Simplificando e usando que 
 :
Simplificando ainda mais:
Resposta
A série de Fourier da função 
  é dada por: