Encontre a série de Fourier da função dada.
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função dada. Ou seja, vamos representar essa função periódica como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender o que é série de Fourier e como calcular os coeficientes que a compõem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. A função 
  é periódica com 
 , então o período 
  é 1. A série de Fourier para uma função com período 
  é dada por:
Passo 3
Como nosso período 
 , a fórmula fica mais simples:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes 
 , 
  e 
 . Eles são calculados pelas seguintes integrais:
Passo 5
Substituindo 
 , as integrais ficam:
Passo 6
Observando a função 
 , vemos que ela é par, ou seja, 
 . Isso significa que todos os coeficientes 
  serão zero, já que a parte ímpar da função não contribui para a série de Fourier. Portanto, nossa série será apenas com termos de cosseno:
Passo 7
Vamos calcular 
 :
Resolvendo as integrais:
Calculando:
Passo 8
Agora, vamos calcular 
 :
Podemos resolver essas integrais usando integração por partes. Após simplificar, chegamos à expressão:
Passo 9
Simplificando ainda mais 
 :
Passo 10
Substituindo 
  e 
  na série de Fourier:
Resposta
A série de Fourier da função 
  é: