Encontre a série de Fourier da função dada.
f(x) = {-x, -1 <= x <= 0; x, 0 <= x <= 1 ; f(x+2) = f(x)}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a série de Fourier da função dada. A matéria aqui é Série de Fourier, que serve para representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar identificar os coeficientes da série usando as fórmulas de Fourier e entender como a função está definida no intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela está definida de forma diferente em dois intervalos:
  • Para ,
  • Para ,
E essa função se repete a cada unidades, ou seja, é periódica com período .

Passo 3

Como a função é periódica e definida no intervalo de a , o período , a frequência fundamental será .

Passo 4

A série de Fourier para uma função periódica com período é dada por:
Precisamos encontrar os coeficientes , e .

Passo 5

Primeiro, vamos calcular , que é a média da função no intervalo:
Substituindo na integral:

Passo 6

Calculando as integrais:
Então:

Passo 7

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Note que é uma função ímpar (simétrica em relação à origem), e é par, então o produto é ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero:

Passo 8

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Novamente, como é ímpar e também é ímpar, o produto é par. Portanto, podemos simplificar:

Passo 9

Vamos resolver a integral:
Usando integração por partes, onde e , temos e :
Calculando:
Como , a segunda parte desaparece.

Passo 10

Portanto, os coeficientes são:
Sabendo que , então:

Resposta

A série de Fourier da função é dada por:

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