Encontre a série de Fourier da função dada.
f(x) = { 1, -T/2 <= x <= 0 ; 0, 0 <= x <= T/2 ; f(x+T) = f(x) }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de série de Fourier juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier da função dada:
Aqui, estamos trabalhando com séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes de Fourier , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função ao longo de um período. A fórmula para é:
Vamos substituir :

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes , que são os coeficientes dos termos de cosseno na série de Fourier. A fórmula para é:
Substituindo :
A segunda integral é zero, então:
Vamos resolver essa integral:
Sabendo que e para todo inteiro , temos:

Passo 4

Por fim, vamos calcular os coeficientes , que são os coeficientes dos termos de seno na série de Fourier. A fórmula para é:
Substituindo :
A segunda integral é zero, então:
Resolvendo a integral:
Sabendo que , temos:

Resposta

A série de Fourier da função é dada por:

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