Encontre a série de Taylor centrada em x=0 e determine seu raio de convergência:
f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{x+2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar a série de Taylor centrada em x=0 da função \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{x+2}}.
  • Determinar o raio de convergência dessa série.
Informações que temos diretamente do enunciado:
  • A função é \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{x+2}}.
  • A expansão deve ser em torno de x=0 (ou seja, série de Taylor centrada em 0).
Não houve outras restrições no enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos manipular a expressão para deixá-la em forma conveniente para usar uma expansão conhecida. A raiz no denominador pode ser reescrita tirando fator comum 2:
f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{x+2}}=x^{2}\,(x+2)^{-1/2}.
Agora fatoramos 2 dentro da potência:
(x+2)^{-1/2} = 2^{-1/2}\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-1/2}.
Portanto
f(x)=x^{2}\,2^{-1/2}\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-1/2}.
Essa forma é ótima porque temos um fator x^{2} multiplicando uma expressão da forma (1+u)^{-1/2} com u=\dfrac{x}{2}.

Passo 3

Agora precisamos da ferramenta: a série binomial generalizada. Ela diz que, para \alpha\in\mathbb{R} (ou complexo) e |u|<1,
(1+u)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}u^{n},
onde o coeficiente binomial generalizado é definido por
\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},
com \binom{\alpha}{0}=1.
No nosso caso \alpha=-\tfrac12 e u=\dfrac{x}{2}. A série é válida enquanto |u|<1, isto é \left|\dfrac{x}{2}\right|<1 (isso já indica o raio de convergência, veremos formalmente depois).

Passo 4

Aplicando a série binomial para \alpha=-\tfrac12 e u=\dfrac{x}{2} obtemos
\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\tfrac12}{n}\left(\frac{x}{2}\right)^{n},\qquad\text{para }\left|\frac{x}{2}\right|<1.
Multiplicando por x^{2}2^{-1/2} (veja o passo 2) temos a série de f(x):
f(x)=2^{-1/2}x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\tfrac12}{n}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}.

Passo 5

Vamos organizar a série numa forma padrão (soma com potências de x). Reescrevendo:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \left[2^{-1/2}\binom{-\tfrac12}{n}2^{-n}\right] x^{n+2}.
Simplificando o fator em potências de 2 obtemos uma expressão compacta para os coeficientes:
\boxed{\,f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n-\tfrac12}\binom{-\tfrac12}{n}\,x^{n+2}\,}
ou, alternativamente, escrevendo o x^{2} em evidência,
\boxed{\,f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\tfrac12}{n}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}\,.}

Passo 6

Para entender melhor os coeficientes, vamos calcular os primeiros termos explicitamente usando a definição de \binom{-\tfrac12}{n}:
  • n=0:\\ \binom{-\tfrac12}{0}=1.
  • n=1:\\ \binom{-\tfrac12}{1}=-\tfrac12.
  • n=2:\\ \binom{-\tfrac12}{2}=\dfrac{(-\tfrac12)(-\tfrac32)}{2!}=\dfrac{3}{8}.
  • n=3:\\ \binom{-\tfrac12}{3}=\dfrac{(-\tfrac12)(-\tfrac32)(-\tfrac52)}{3!}=-\dfrac{5}{16}.
Substituindo na forma f(x)=2^{-1/2}x^{2}\sum_{n\ge0}\binom{-\tfrac12}{n}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{n} obtemos os primeiros termos:
f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{2}}\left[1-\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{2}+\frac{3}{8}\left(\frac{x}{2}\right)^{2}-\frac{5}{16}\left(\frac{x}{2}\right)^{3}+\cdots\right]
e simplificando as potências de 2:
\boxed{\,f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{2}}-\frac{x^{3}}{4\sqrt{2}}+\frac{3x^{4}}{32\sqrt{2}}-\frac{5x^{5}}{128\sqrt{2}}+\cdots\,.}
Isso deixa claro o padrão e permite calcular qualquer coeficiente usando a fórmula geral do Passo 5.

Passo 7

Agora o raio de convergência. A série que usamos vem da expansão de (1+u)^{-1/2} com u=\dfrac{x}{2}. A série binomial generalizada converge para |u|<1. Portanto a condição é
\left|\frac{x}{2}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<2.
Isso mostra que o raio de convergência da série de Taylor ao redor de 0 é
\boxed{R=2.}

Resposta

\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}2^{-n-\tfrac12}\binom{-\tfrac12}{n}\,x^{n+2}=\frac{x^{2}}{\sqrt{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\tfrac12}{n}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}
R=2

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