Encontre a série de Taylor centrada em x=0 e determine seu raio de convergência: f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{x+2}}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Encontrar a série de Taylor centrada em x=0 da função \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{x+2}}.
Determinar o raio de convergência dessa série.
Informações que temos diretamente do enunciado:
A função é \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{x+2}}.
A expansão deve ser em torno de x=0 (ou seja, série de Taylor centrada em 0).
Não houve outras restrições no enunciado.
Passo 2
Primeiro vamos manipular a expressão para deixá-la em forma conveniente para usar uma expansão conhecida. A raiz no denominador pode ser reescrita tirando fator comum 2:
com \binom{\alpha}{0}=1.
No nosso caso \alpha=-\tfrac12 e u=\dfrac{x}{2}. A série é válida enquanto |u|<1, isto é \left|\dfrac{x}{2}\right|<1 (isso já indica o raio de convergência, veremos formalmente depois).
Passo 4
Aplicando a série binomial para \alpha=-\tfrac12 e u=\dfrac{x}{2} obtemos
Isso deixa claro o padrão e permite calcular qualquer coeficiente usando a fórmula geral do Passo 5.
Passo 7
Agora o raio de convergência. A série que usamos vem da expansão de (1+u)^{-1/2} com u=\dfrac{x}{2}. A série binomial generalizada converge para |u|<1. Portanto a condição é