Encontre a solução em série de potências de cada uma das EDO’s lineares de 2^{\text {a }} ordem abaixo no ponto x_{0} dado e determine a relação de recorrência dos coeficientes da solução. Se possível, encontre a solução geral.
y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-y=0, x_{0}=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de ordem 2
y'' - x y' - y = 0,
com ponto de expansão x_{0}=0.\n
O que é pedido:
  • Encontrar a solução em série de potências centrada em x_{0}=0.
  • Determinar a relação de recorrência entre os coeficientes da série.
  • Se possível, apresentar a solução geral explícita (fechada), além da forma em série.\n
    Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é linear com coeficientes polinomiais (portanto x=0 é um ponto regular) — isso permite procurar uma solução em série de potências comum da forma y=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n.
  • Os coeficientes iniciais a_0 e a_1 serão constantes arbitrárias que representam as duas constantes de integração da solução geral.

Passo 2

Escolhemos o método de série de potências centrada em 0. A ideia é assumir
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são números (constantes) a determinar. Aqui a_0 representa y(0) e a_1 representa y'(0) (quando a série converge, claro). Vamos desenvolver as derivadas termo a termo.

Passo 3

Derivando termo a termo temos
y'=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1},
y''=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}.
Para facilitar a combinação dos somatórios, fazemos mudanças de índice para escrever tudo como potências x^k com o mesmo expoente. Colocando k=n-2 em y'' obtemos
y''=\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1) a_{k+2} x^{k}.
Mantemos as outras somas em potências padrão:
x y' = x\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n}.
E
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.

Passo 4

Substituímos tudo na EDO \;y''-x y'-y=0\;:
\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1) a_{k+2} x^{k} - \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n} - \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0.
Para combinar as somas, trocamos o índice das duas últimas para k (eles já estão quase prontos). A segunda soma começa em n=1, então não tem termo em x^0. Reescrevendo com índice k:
\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1) a_{k+2} x^{k} - \sum_{k=1}^{\infty} k a_k x^{k} - \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k = 0.

Passo 5

Agora agrupamos coeficientes de x^k. Para k=0 obtemos o termo separado (pois a soma do meio não tem k=0):
coeficiente de x^0:
(2)(1)a_2 - a_0 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2 a_2 - a_0 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_2 = \frac{a_0}{2}.
Para k\ge 1, somando os três contribuintes temos
(k+2)(k+1) a_{k+2} - k a_k - a_k = 0.
Simplificando,
(k+2)(k+1) a_{k+2} - (k+1) a_k = 0.
Como k+1\neq 0 para k\ge1, obtemos a relação de recorrência
a_{k+2} = \frac{a_k}{k+2},\qquad k\ge 0.
(Aqui escrevemos k\ge0 porque a fórmula vale também para k=0 — ela reproduz a_2=a_0/2.)

Passo 6

Interpretação da recorrência e separação em par/ímpar.\n
A recorrência relaciona coeficientes com passo 2, ou seja, os coeficientes pares dependem apenas de a_0 e os ímpares apenas de a_1. Vamos escrever explicitamente as duas sequências:
  • Para os índices pares, escrevendo n=2m com m\ge0:
a_{2(m+1)} = \frac{a_{2m}}{2(m+1)}.
Iterando desde m=0 (onde a_0 é dado), obtemos
a_2=\frac{a_0}{2},\quad a_4=\frac{a_2}{4}=\frac{a_0}{2\cdot4},\quad a_6=\frac{a_4}{6}=\frac{a_0}{2\cdot4\cdot6},\\ \ldots
Portanto, para m\ge0,
a_{2m}=\frac{a_0}{2\cdot4\cdot6\cdots(2m)}.
Note que o produto 2\cdot4\cdot\ldots\cdot(2m)=2^m m!. Logo
\boxed{a_{2m}=\dfrac{a_0}{2^m m!}.}
  • Para os índices ímpares, escrevendo n=2m+1 com m\ge0:
a_{2(m+1)+1}=a_{2m+3}=\frac{a_{2m+1}}{2m+3}.
Iterando:
a_3=\frac{a_1}{3},\quad a_5=\frac{a_3}{5}=\frac{a_1}{3\cdot5},\\ \ldots
Temos o produto dos ímpares 3\cdot5\cdots(2m+1). Usando a fórmula para o produto dos ímpares
1\cdot3\cdot5\cdots(2m+1)=\frac{(2m+1)!}{2^m m!},
obtemos (lembrando que multiplicar por 1 não altera o produto)
\prod_{k=1}^{m}(2k+1)=\frac{(2m+1)!}{2^m m!}.
Logo para m\ge0
\boxed{a_{2m+1}=a_1\;\frac{2^m m!}{(2m+1)!}.}

Passo 7

Escrevendo a série solução como soma das partes par e ímpar:\n
A solução em série é
y(x)=\sum_{m=0}^{\infty} a_{2m} x^{2m} + \sum_{m=0}^{\infty} a_{2m+1} x^{2m+1}.
Substituindo as fórmulas obtidas:
y(x)=a_0\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{2m}}{2^m m!} \;+\; a_1\sum_{m=0}^{\infty}\frac{2^m m!}{(2m+1)!}\,x^{2m+1}.

Passo 8

Reconhecendo as séries como funções conhecidas.\n
A primeira soma é simples: usando a série da exponencial,
\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!}\left(\frac{x^2}{2}\right)^{m} = e^{x^2/2}.
Portanto a parte par é a_0 e^{x^2/2}. Verificação rápida: e^{x^2/2} satisfaz a EDO — é uma boa checagem rápida (se quiser testar, calcular y',y'' e substituir).
Para a parte ímpar, podemos obter uma forma fechada usando o método de redução de ordem (sabendo que já temos uma solução y_1=e^{x^2/2}). A fórmula padrão dá uma segunda solução independentemente linear como
y_2(x)=y_1(x)\int^{x} \frac{e^{-\int P(t)\,dt}}{y_1(t)^2}\,dt,
onde a EDO está na forma y''+P(x)y'+Q(x)y=0. No nosso caso a equação é y''-x y'-y=0, logo P(x)=-x. Calculando o integrando:
e^{-\int P(t)\,dt}=e^{-\int -t\,dt}=e^{t^2/2}, \qquad y_1(t)^2=e^{t^2}.
Assim o integrando fica e^{t^2/2}/e^{t^2}=e^{-t^2/2}, e
y_2(x)=e^{x^2/2}\int^{x} e^{-t^2/2}\,dt.
Portanto a solução geral pode ser escrita como combinação linear:
\boxed{y(x)=C_1 e^{x^2/2} + C_2\, e^{x^2/2}\int_{0}^{x} e^{-t^2/2}\,dt,}
onde C_1 e C_2 são constantes (podemos escolher o limite inferior da integral como 0 sem perda de generalidade; isso só altera a constante multiplicativa integrada em C_1).\n
Observação: a integral \int_{0}^{x} e^{-t^2/2}\,dt pode ser expressa com a função erro (erf):
\int_{0}^{x} e^{-t^2/2}\,dt=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\;\mathrm{erf}\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right),
portanto outra forma é
y(x)=C_1 e^{x^2/2} + C_2 e^{x^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\;\mathrm{erf}\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right).
A série que obtivemos para a parte ímpar coincide com a expansão em potências dessa segunda solução.

Passo 9

Resumo pedagógico e dica de prova:\n
  • Método direto: assumir y=\sum a_n x^n, derivar, substituir e igualar coeficientes gera a recorrência \;a_{n+2}=a_n/(n+2).\n
  • Isso mostra que há duas famílias independentes de coeficientes (pares e ímpares), controladas por a_0 e a_1.\n
  • Reconhecer a série associada à solução par como e^{x^2/2} é um atalho muito útil em prova. Depois usar redução de ordem fornece a segunda solução em forma de integral (ou com erf).

Resposta

\boxed{a_{n+2}=\dfrac{a_n}{n+2},\qquad n\ge0,}
\boxed{y(x)=C_1 e^{x^2/2} + C_2\, e^{x^2/2}\int_{0}^{x} e^{-t^2/2}\,dt.}

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