Encontre a solução em série de potências de cada uma das EDO’s lineares de
ordem abaixo no ponto
dado e determine a relação de recorrência dos coeficientes da solução. Se possível, encontre a solução geral.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de ordem 2
com ponto de expansão
.\n
O que é pedido:
O que é pedido:
- Encontrar a solução em série de potências centrada em
. - Determinar a relação de recorrência entre os coeficientes da série.
- Se possível, apresentar a solução geral explícita (fechada), além da forma em série.\n
Informações relevantes fornecidas: - A equação é linear com coeficientes polinomiais (portanto
é um ponto regular) — isso permite procurar uma solução em série de potências comum da forma . - Os coeficientes iniciais
e serão constantes arbitrárias que representam as duas constantes de integração da solução geral.
Passo 2
Escolhemos o método de série de potências centrada em
. A ideia é assumir
onde os
são números (constantes) a determinar. Aqui
representa
e
representa
(quando a série converge, claro). Vamos desenvolver as derivadas termo a termo.
Passo 3
Derivando termo a termo temos
Para facilitar a combinação dos somatórios, fazemos mudanças de índice para escrever tudo como potências
com o mesmo expoente. Colocando
em
obtemos
Mantemos as outras somas em potências padrão:
E
Passo 4
Substituímos tudo na EDO
:
Para combinar as somas, trocamos o índice das duas últimas para
(eles já estão quase prontos). A segunda soma começa em
, então não tem termo em
. Reescrevendo com índice
:
Passo 5
Agora agrupamos coeficientes de
. Para
obtemos o termo separado (pois a soma do meio não tem
):
coeficiente de :
coeficiente de
Para
, somando os três contribuintes temos
Simplificando,
Como
para
, obtemos a relação de recorrência
(Aqui escrevemos
porque a fórmula vale também para
— ela reproduz
.)
Passo 6
Interpretação da recorrência e separação em par/ímpar.\n
A recorrência relaciona coeficientes com passo 2, ou seja, os coeficientes pares dependem apenas de e os ímpares apenas de
. Vamos escrever explicitamente as duas sequências:
A recorrência relaciona coeficientes com passo 2, ou seja, os coeficientes pares dependem apenas de
- Para os índices pares, escrevendo
com :
Iterando desde
(onde
é dado), obtemos
Portanto, para
,
Note que o produto
. Logo
- Para os índices ímpares, escrevendo
com :
Iterando:
Temos o produto dos ímpares
. Usando a fórmula para o produto dos ímpares
obtemos (lembrando que multiplicar por
não altera o produto)
Logo para
Passo 7
Escrevendo a série solução como soma das partes par e ímpar:\n
A solução em série é
A solução em série é
Substituindo as fórmulas obtidas:
Passo 8
Reconhecendo as séries como funções conhecidas.\n
A primeira soma é simples: usando a série da exponencial,
A primeira soma é simples: usando a série da exponencial,
Portanto a parte par é
. Verificação rápida:
satisfaz a EDO — é uma boa checagem rápida (se quiser testar, calcular
e substituir).
Para a parte ímpar, podemos obter uma forma fechada usando o método de redução de ordem (sabendo que já temos uma solução
). A fórmula padrão dá uma segunda solução independentemente linear como
onde a EDO está na forma
. No nosso caso a equação é
, logo
. Calculando o integrando:
Assim o integrando fica
, e
Portanto a solução geral pode ser escrita como combinação linear:
onde
e
são constantes (podemos escolher o limite inferior da integral como
sem perda de generalidade; isso só altera a constante multiplicativa integrada em
).\n
Observação: a integral pode ser expressa com a função erro (erf):
Observação: a integral
portanto outra forma é
A série que obtivemos para a parte ímpar coincide com a expansão em potências dessa segunda solução.
Passo 9
Resumo pedagógico e dica de prova:\n
- Método direto: assumir
, derivar, substituir e igualar coeficientes gera a recorrência .\n - Isso mostra que há duas famílias independentes de coeficientes (pares e ímpares), controladas por
e .\n - Reconhecer a série associada à solução par como
é um atalho muito útil em prova. Depois usar redução de ordem fornece a segunda solução em forma de integral (ou com erf).