Encontre a série de Taylor das funções abaixo centradas em x_{0} \in \mathbb{R} dado e determine o raio de convergência.
f(x)=x^{5}+2 x^{3}+x, x_{0}=2

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=x^{5}+2x^{3}+x centrada em x_{0}=2 e o raio de convergência. O conteúdo é polinômio e derivadas: como f é de grau 5, sua série de Taylor tem até termo (x-2)^{5}. Usaremos
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(2)}{n!}(x-2)^{n}
e depois veremos que só há termos até n=5.

Passo 2

Calculamos f^{(n)}(x) e avaliamos em x=2 para n=0,\dots,5. n=0:
f(2)=2^{5}+2\cdot2^{3}+2 =32+16+2=50. n=1: f'(x)=5x^{4}+6x^{2}+1 então
f'(2)=5\cdot16+6\cdot4+1=80+24+1=105. n=2: f''(x)=20x^{3}+12x então
f''(2)=20\cdot8+12\cdot2=160+24=184. n=3: f'''(x)=60x^{2}+12 então
f'''(2)=60\cdot4+12=240+12=252. n=4: f^{(4)}(x)=120x então
f^{(4)}(2)=120\cdot2=240. n=5: f^{(5)}(x)=120 então
f^{(5)}(2)=120.
Para n>5, f^{(n)}(x)=0.

Passo 3

Formamos os coeficientes da série:
a_{n} = \frac{f^{(n)}(2)}{n!}.
Logo
a_{0}=50,\quad a_{1}=\frac{105}{1!}=105,\quad a_{2}=\frac{184}{2!}=92,
a_{3}=\frac{252}{3!}=\frac{252}{6}=42,\quad a_{4}=\frac{240}{4!}=\frac{240}{24}=10,\quad a_{5}=\frac{120}{5!}=\frac{120}{120}=1.

Passo 4

Escrevendo a série de Taylor completa, temos
f(x) =50 +105(x-2)+92(x-2)^{2}+42(x-2)^{3}+10(x-2)^{4}+(x-2)^{5}.

Passo 5

Como é um polinômio, não há termos de ordem superior a 5 e a série converge para f(x) para todo x\in\mathbb{R}.
O raio de convergência é
R = +\infty.

Resposta

f(x)=50 +105(x-2)+92(x-2)^{2}+42(x-2)^{3}+10(x-2)^{4}+(x-2)^{5}, \quad R=+\infty.

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