Usando a série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}, x \in(-1,1), encontre uma representação em série de potências com centro em x_{0}=0 para as funções abaixo e determine seu intervalo de convergência.
f(x)=\frac{x+a}{x^{2}+a^{2}} ( a>0 é um número real fixado)

Passo 1

O enunciado pede uma série de potências centrada em x_{0}=0 para
f(x)=\frac{x+a}{x^{2}+a^{2}},\quad a>0,
usando a série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x},\quad x\in(-1,1).

Passo 2

Separamos
f(x)=\frac{x}{x^{2}+a^{2}}+\frac{a}{x^{2}+a^{2}}.
Repare que
\frac{1}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a^{2}}\;\frac{1}{1+\frac{x^{2}}{a^{2}}}
e podemos usar a expansão
\frac{1}{1+y}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}y^{n},\quad |y|<1,
com y=\frac{x^{2}}{a^{2}}.

Passo 3

Aplicando a expansão ao inverso quadrático:
\frac{1}{x^{2}+a^{2}} =\frac{1}{a^{2}}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\Bigl(\frac{x^{2}}{a^{2}}\Bigr)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{a^{2n+2}}.
Multiplicando por a e por x, obtemos duas séries:
\frac{a}{x^{2}+a^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{a^{2n+1}}, \qquad \frac{x}{x^{2}+a^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{a^{2n+2}}.

Passo 4

Somando as duas partes, a série de potências de f(x) é
f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\Bigl(\frac{x^{2n}}{a^{2n+1}}+\frac{x^{2n+1}}{a^{2n+2}}\Bigr).

Passo 5

O raio de convergência vem de \bigl|\frac{x^{2}}{a^{2}}\bigr|<1, ou seja |x|<a.

Resposta

A série de potências centrada em 0 é
\boxed{ f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\Bigl(\frac{x^{2n}}{a^{2n+1}}+\frac{x^{2n+1}}{a^{2n+2}}\Bigr), }
válida para
\boxed{|x|<a.}

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