Encontre a série de Taylor das funções abaixo centradas em x_{0} \in \mathbb{R} dado e determine o raio de convergência.
f(x)=\sin 2 x, x_{0}=\pi

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=\sin(2x) centrada em x_{0}=\pi e o raio de convergência. O conteúdo aqui é a construção de séries de Taylor em torno de um ponto qualquer, usando a definição
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n},
mas, em vez de calcular derivadas repetidas, vamos aproveitar a periodicidade de \sin e a série de Maclaurin de \sin u.

Passo 2

Definimos a variável de deslocamento
h = x-\pi,
de modo que x = \pi + h. Então
\sin(2x) = \sin\bigl(2(\pi+h)\bigr) = \sin(2\pi + 2h).
Como \sin é 2\pi-periódica, isso vale
\sin(2\pi+2h)=\sin(2h).

Passo 3

Recordamos a série de Maclaurin de \sin u em torno de u=0:
\sin u = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{u^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Aqui tomamos u=2h, logo
\sin(2h) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(2h)^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 4

Voltando à variável original x, substituímos h = x-\pi na série acima:
\sin(2x) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{2^{2n+1}\,(x-\pi)^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Esta é exatamente a série de Taylor de \sin(2x) centrada em x_{0}=\pi.

Passo 5

O raio de convergência da série de Maclaurin de \sin u é infinito, e a substituição u=2(x-\pi) não altera esse fato. Portanto, o raio de convergência aqui também é infinito.

Resposta

\sin(2x) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{2^{2n+1}}{(2n+1)!}\,(x-\pi)^{2n+1}, \qquad \text{Raio de convergência: }R = \infty.ê

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