Encontre a série de Taylor das funções abaixo centradas em
dado e determine o raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de
centrada em
e o raio de convergência. O conteúdo aqui é a construção de séries de Taylor em torno de um ponto qualquer, usando a definição
mas, em vez de calcular derivadas repetidas, vamos aproveitar a periodicidade de
e a série de Maclaurin de
.
Passo 2
Definimos a variável de deslocamento
de modo que
. Então
Como
é
-periódica, isso vale
Passo 3
Recordamos a série de Maclaurin de
em torno de
:
Aqui tomamos
, logo
Passo 4
Voltando à variável original
, substituímos
na série acima:
Esta é exatamente a série de Taylor de
centrada em
.
Passo 5
O raio de convergência da série de Maclaurin de
é infinito, e a substituição
não altera esse fato. Portanto, o raio de convergência aqui também é infinito.